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Scriverei $1/|B(0,r)| \int_{RR^n} u(y)*1_{\{|x|<r\}}dy$ ma in che modo questo può aiutarmi?

Il denominatore è chiaramente una funzione continua di r, quindi l'unico problema è l'integrale, ma è ovvio che la funzione integranda è dominata da una funzione integrabile. La funzione dominante è $|u(y) |1_B(y)$, dove B è una palla fissata e sufficientemente grande. Non so se mi spiego, sono da cellulare e scrivere qui è un castigo di Dio, come si dice a Bari.

Per poter applicare la convergenza dominata dovrei avere una successione di funzioni.
Se la funzione dominante è $|u(y)|1_{B(y)}$ allora chi è la successione dominata?

Una successione o una famiglia di funzioni. Qui hai una famiglia, dipendente dal parametro continuo $r$.

Ok, quindi in questo caso (cioe' nel caso di una famiglia di funzioni) la condizione di convergenza puntuale $f_n->f$ come si traduce?
Cioe' a quale funzione tende la mia famiglia di funzioni?

Guarda, sono cose proprio facili. Secondo me non ci stai pensando abbastanza. E' vero che il teorema della convergenza dominata si enuncia di solito per le successioni, ovvero per \(n \to \infty\), ma è uguale se si ha una famiglia di funzioni che dipende da un parametro \(r\in \mathbb R\) che tende a \(r_0\).

Altrimenti, come pensavi di applicarlo?

Ho letto solo alcuni dei primi messaggi, quindi non so cosa avete detto poi, ma oggi mi sono imbattuto in un esercizio che potrebbe interessare a OP, lo riporto testualmente per essere sicuro di non travisarne il significato:

We say that a locally integrable function $u$ defined in $RR^N$ is harmonious in $\Omega\subseteq RR^N$ if it satisfies $(2.4)$ for any ball $B_r(x)$ with $x\in\Omega$. Prove that, if $u$ is harmonious in $\Omega$, then
(i) $u$ is bounded on $\Omega$;
(ii) $u$ is locally Lipschitz continuous in $\Omega$;
(iii) $u\inC^\infty(\Omega)$ and all its derivatives are harmonious;
(iv) $u$ is analytic in $\Omega$, if it is bounded on $RR^N$.

Poi c'è anche un altro esercizio collegato che dice

Let $\Omega\subseteqRR^N$ be a connected open set and set $\Omega_r ={y + z : y\inOmega,|z|<r }=\Omega+B_r(0)$. Let $u$ be a harmonious function in $\Omega$. If there is an $x_0\in\Omega$ is such that $u(x_0) = \text{sup}_{\Omega_r} u$, then $u$ is constant in $\Omega$.

P.S. Non chiedetemi come si fa perché non lo so e non ci ho neanche pensato.
EDIT: Mi ero dimenticato di dire che con $(2.4)$ lui intende la proprietà della media sulle sfere.

“Harmonious”???

Harmonic, I guess.

No, è questo il bello, è proprio harmonoious functions