Salve a tutti, la problematica che vado ad esporvi non è terribilmente complicata, ma terrei a sapere se il mio procedimento è corretto o meno.
Un funzione $s:X\to \mathbb{R}$ è detta semplice se il suo codominio è un insieme finito, cioè $s(X)=\{c_1,...,c_n\}$. Ora, sia $s$ una funzione semplice. Siano $c_1,...,c_n\in\mathbb{R}$ distinti ed $E_1,...E_n\subseteq X$ disgiunti, con $X=\bigcup_{k=1}^n E_k$, tali che risulti $$s=\sum_{k=1}^n c_k\chi_{E_k}.$$ La precedente espressione è detta $\text{forma canonica}$ di $s$. In questo contesto gli insiemi $E_k:=\{s=c_k\}$ per ogni $k=1,...,n$.
Esercizio. Sia $(X,mathcal{A})$ uno spazio misurabile. Sia $s:(X,\mathcal{A})\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ una funzione semplice. Sia $s=\sum_{k=1}^n c_k\chi_{E_k}$ la forma canonica di $s$. Allora $s$ è $\mathcal{A}$-misurabile se e solo se $E_k\in\mathcal{A}$.
Svolgimento. Sia $s$ $\mathcal{A}$-misurabile, allora per ogni boreliano $B\in\mathcal{B(\mathbb{R})}$ risulta $s^-1(B)\in\mathcal{A}$. Pertanto $s^-1(\{c_k\})\in\mathcal{A}$ per ogni $k=1,...,n.$ (osserviamo che ogni $\{c_k\}$ è un boreliano in quanto chiuso.). Tuttavia $$\mathcal{A}\ni s^{-1}(\{c_k\})=E_k\quad \text{per ogni}\quad k=1,...,n.$$ Viceversa siano $E_1,...,E_n$ disgiunti e misurabili. Sia $B\in\mathcal{B(\mathbb{R})}$ e sia $$I:=\big\{k\in\{1,...n\}\;|\;c_k\in B\big\},$$ cioè se $k\in I$, allora $c_k\in B$. Mostriamo che $$s^{-1}(B)=\bigcup_{k\in I} E_k.$$ Sia $x\in\cup_{k\in I} E_k$ allora, poiché gli insiemi $E_k$ sono disgiunti, esiste un unico $k_0\in I$ tale che $x\in E_{k_0}.$ Allora $s(x)=c_{k_0}\in B$, pertanto $x\in s^{-1}(B).$
Viceversa, sia $x\in s^{-1}(B)$, allora $s(x)\in B$, tuttavia $s(x)=c_i$ per $i=1,...,n$, allora $s(x)=c_k$ per qualche $k\in I$, poiché i $c_i$ sono distinti, esiste un unico $k_0\in I$ tale che $s(x)=c_{k_{0}}$, pertanto $x\in E_[k_0]$, allora $x\in\cup_{k\in I} E_k$.
Questo procedimento è corretto?
Lo stesso risultato può essere mostrato in maniera più semplice?
Vi ringrazio