Operatori unitari su spazi di Hilbert

[cicalino]

Ciao a tutti,
mi sto un po' incagliando nella definizione di operatori unitari su spazi di Hilbert.
Naturalmente, intendo andare un po' più a fondo della semplice definizione che viene data, ovvero che $U$ è unitario se
$$UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=\mathbb{I}$$
qui infatti non si parla di dominio e range. Dunque, la definizione che sto considerando è:
Un operatore $U:D_U\mapsto\R_U$ densamente definito si dice unitario se è isometrico e $R_U$ è denso in $H$. Per esso vale, su tutto lo spazio $H$:

$$U^{\dagger}U=UU^{\dagger}=\mathbb{I}$$

dove $D_U,R_U$ sono, rispettivamente, il dominio e il range di $U$, entrambi $\subseteq H$, con $H$ spazio di Hilbert su cui l'operatore agisce (sto considerando operatori $H\mapsto H$, cioè endomorfismi).

Il problema sorge quando leggo che $R_U$ deve essere denso in $H$. Non capisco proprio perché.

E' facile far vedere che $$U^{\dagger}U=\mathbb{I}$$ su tutto $H$, infatti, dati $x,y\in D_U$:
$$(x,y)=(Ux,Uy)=(x,U^{\dagger}Uy)$$
da cui si deduce che $$U^{\dagger}Uy=y\;\forall y\in D_U$$, ovvero $$U^{\dagger}U=\mathbb{I}$$ e, essendo $D_U$ denso in $H$, questa proprietà si estende a tutto $H$.

Ma l'altra proprietà? come faccio vedere che $$UU^{\dagger}=\mathbb{I}$$ è vero solamente su $R_U$ e quindi si rende necessario che $R_U$ sia denso in $H$?
Grazie in anticipo

[dissonance]

Se non assumi che il rango sia denso, sbatti contro esempi come questo qui:
\[
U\colon \ell^2\to \ell^2,\qquad U(x_1, x_2, x_3, \ldots)=(0, x_1, x_2, \ldots).
\]
Qui il rango non è denso e succede che
\[
U^\dagger(y_1, y_2, y_3, \ldots) = (y_2, y_3, y_4, \ldots).\]
Questo non è un buon operatore unitario, perché l'aggiunto non è ingettivo. Per questo bisogna aggiustare le definizioni in modo da escludere esempi così.

[cicalino]

Se non assumi che il rango sia denso, sbatti contro esempi come questo qui:
\[
U\colon \ell^2\to \ell^2,\qquad U(x_1, x_2, x_3, \ldots)=(0, x_1, x_2, \ldots).
\]
Qui il rango non è denso e succede che
\[
U^\dagger(y_1, y_2, y_3, \ldots) = (y_2, y_3, y_4, \ldots).\]
Questo non è un buon operatore unitario, perché l'aggiunto non è ingettivo. Per questo bisogna aggiustare le definizioni in modo da escludere esempi così.

ciao, grazie per l'esempio, che sicuramente convince.
Tuttavia, avrei preferito una via più "teorica", per asserirlo, una continuazione della dimostrazione per intenderci (ovvero, il far vedere che in generale $$ UU^{\dagger}=\mathbb{I}$$ è vero solo su $R_U$, e quindi è necessario supporre che $R_U$ sia denso in $H$).

[dissonance]

Basta ragionare su quell'esempio. Se \(U\) denota l'operatore di shift del mio post precedente, allora
\[
UU^\dagger(x_1, x_2, x_3, \ldots) = (0, x_2, x_3, \ldots), \]
che coincide con l'identità solo se ristretto al sottospazio
\[
R(U)=\{ (0, x_2, x_3, \ldots)\ :\ \sum_j x_j^2<\infty\}\subset \ell^2.\]
Quindi, almeno su questo esempio, la relazione \(UU^\dagger =I\) non è vera in generale, a causa del rango troppo piccolo di \(U\).

Ora tu mi chiederai se questo sia un fatto generale, ovvero se \(\left.UU^\dagger\right|_{R(U)}=\left.I\right|_{R(U)}\) ogniqualvolta \(U\colon D(U)\to R(U)\) sia isometrico. Penso proprio di sì.