saretta:) ha scritto:Pensavo ti fossi solo scordato dato che gestisci praticamente il forum di analisi da solo.
Ma non è vero...
saretta:) ha scritto:No in realtà fisica. Ho una impostazione troppo da ingegnere?
No... Solo che pensavo "massimo e minimo limite" (o \(\limsup\) e \(\liminf\) che dir si voglia) fossero noti anche ai Fisici, oltre che ai Matematici; dunque ho (sbagliando) dedotto tu fossi un Ingegnere.
Ad ogni buon conto.
Come detto altre volte, una funzione $f:Omega -> CC$ olomorfa in $Omega$ aperto che contiene un intorno di $oo$ ha una singolarità (isolata) in $oo$ se e solo se la funzione ausiliaria $phi(w)=f(1/w)$ ha una singolarità in $0$. In particolare, $f$ ha in $oo$ una singolarità eliminabile [risp. polare, essenziale] in $oo$ se e solo se $phi$ ha una singolarità eliminabile [risp. polare, essenziale] in $0$ e ciò (giocando con gli sviluppi di Laurent di $phi$ ed il cambiamento di variabile $z=1/w$) equivale a dire che:
- $oo$ è singolarità eliminabile se e solo se:
\[
f(z) = \underbrace{\sum_{n=0}^\infty \frac{c_{-n}}{z^n}}_{\text{parte regolare in } \infty}
\]
intorno a $oo$;
- $oo$ è singolarità polare d'ordine $N$ se e solo se:
\[
f(z) = \underbrace{\sum_{n=0}^\infty \frac{c_{-n}}{z^n}}_{\text{parte regolare in } \infty} + \underbrace{\sum_{n=1}^N c_n z^n}_{\text{parte singolare in } \infty}
\]
intorno a $oo$ con $c_N!=0$;
- $oo$ è singolarità essenziale se e solo se:
\[
f(z) = \underbrace{\sum_{n=0}^\infty \frac{c_{-n}}{z^n}}_{\text{parte regolare in } \infty} + \underbrace{\sum_{n=1}^\infty c_n z^n}_{\text{parte singolare in } \infty}
\]
intorno a $oo$ con infiniti $c_n \neq 0$.
Quindi in $oo$ i ruoli delle potenze negative e positive nello sviluppo di Laurent si invertono rispetto al caso delle singolarità al finito: le potenze negative danno la parte regolare di $f$, mentre quelle positive la parte singolare.
Ora, si dimostra che i vari tipi di singolarità si possono caratterizzare usando (oltre allo sviluppo in serie di Laurent) i limiti: in particolare si dimostra che:
- $z_0$ (al finito o all'infinito) è una singolarità eliminabile se e solo se:
\[
\lim_{z\to z_0} f(z) \text{ esiste finito}\; ;
\]
- $z_0$ (al finito o all'infinito) è una singolarità polare se e solo se:
\[
\lim_{z\to z_0} |f(z)| = \infty\; ;
\]
ed in particolare, la singolarità polare è d'ordine $N$ se e solo se:
\[
\left. \begin{split} \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^N f(z) &\quad \text{ (quando } z_0 \text{ è al finito)} \\ \lim_{z\to \infty} \frac{f(z)}{z^N} &\quad \text{ (quando } z_0=\infty \text{)} \end{split}\right\}\ \text{ esiste finito e non nullo}\; ;
\]
- $z_0$ (al finito o all'infinito) è una singolarità essenziale se e solo se:
\[
\lim_{z\to z_0} |f(z)| \text{ non esiste}\; ;
\]
per la precisione, risulta:
\[
\liminf_{z\to z_0} |f(z)|=0 \qquad \text{e}\qquad \limsup_{z\to z_0} |f(z)| = +\infty
\]
(in cui \(\liminf\) e \(\limsup\) denotano il minimo ed il massimo limite della funzione reale $|f|$), cosicché nemmeno il $\lim_(z -> z_0) f(z)$ esiste.
Nel caso dell'esercizio, sfruttando tecniche elementari, sappiamo che per $a!=0$ risulta:
\[
\sin az = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{2n+1}}{(2n+1)!}\ z^{2n+1}\qquad \Rightarrow \qquad \frac{\sin az}{z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{2n+1}}{(2n+1)!}\ z^{2n}
\]
cosicché la funzione sotto il segno di limite è olomorfa in tutto il piano complesso (cioè è
intera) ed ha il secondo membro dell'ultima uguaglianza come sviluppo di Taylor in $0$ e come sviluppo di Laurent intorno a $oo$; visto che nello sviluppo di Laurent intorno ad $oo$ ci sono infiniti termini con coefficienti non nulli (i.e., tutti i $c_(2n)$ corrispondenti alle potenze pari di $z$), sappiamo che $oo$ è singolarità essenziale per $(sin az)/z$.
Dalla caratterizzazione delle singolarità con i limiti segue che $lim_(z -> oo) (sin az)/z$ non esiste.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
da saretta:) » 26/02/2019, 17:37 
Non riesco proprio da sola!
