Integrale con coseno complesso risoluzione con metodo dei residui

Messaggioda kira.91 » 28/02/2019, 18:31

Salve ragazzi, avrei bisogno di una mano per quanto riguarda il seguente integrale con un cos(x) da risolvere con i residui.

\( \int_0^{\infty} \frac{x^2+cos(x)}{x^6+1}\)

per prima cosa mi vado a studiare il denominatore cercandomi i punti sulla circonferenza goniometrica:

$ x^6 = -1 = e^(-i\pi)$

e mi calcolo quindi le 6 radici e di conseguenza i punti:

$ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$

di cui mi interessano solo quelli nella parte positiva del piano complesso rispetto alle ordinate. Ma qui mi sorge il primo dubbio, da quello che ho studiato, so che sull'integrale notevole da -infinito a +infinito posso applicare il teorema dei residui per svolgere l'integrale come la sommatoria di essi. Ora dato che la funzione è pari (o così mi sembra dato gli esponenti del numeratore e del denominatore e dal coseno) posso riscrivere l'integrale come:

\(\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2+cos(x)}{x^6+1}\)

se così non fosse stato avrei potuto applicare il suddetto teorema anche alla forma 0 +infinito prendendo in considerazione solo i punti sulla circonferenza a $\pi/6, \pi/2$?

proseguendo, vedo che ho tutti i poli con ordine 1, quindi applico al limite per trovare i residui la seguente formula:

$\lim_{x \to x_0} \frac{P(z)}{Q'(z)}$

quindi:

$lim_{z \to e^(i\pi/6)} \frac{z^2+cos(z)}{6z^5} = lim_{z \to e^(i\pi/6)} \frac{e^(i\pi/3)+cos(e^(i\pi/6))}{6e^(i\pi5/6)}$

e qui inizio ad avere i primi problemi con il $cos(e^(i\pi/6))$! provo a scrivere quel coseno come:

$cos(z)=\frac{e^(iz)+e^(-iz)}{2}$

e quindi tutto diverrebbe come:

$ \frac{e^(i\pi/3)+(e^(ie^(i\pi/6))+e^(-ie^(i\pi/6)))/2}{6e^(i\pi5/6)}$

e con vari passaggi (tra formula di Eulero e sostituzioni) arrivo qui:

$ \frac{1+isqrt3+e^(i(sqrt3/2+i/2))+e^(-i(sqrt3/2+i/2))}{6(-sqrt3+i)} = \frac{1+isqrt3+e^(isqrt3/2)e^(-1/2)+e^(-isqrt3/2)e^(1/2)}{6(-sqrt3+i)) $

e di nuovo con Eulero:

$ Res(\pi/6) = \frac{1+isqrt3+e^(-1/2)(cos(sqrt3/2)+isin(sqrt3/2))+e^(1/2)(cos(sqrt3/2)-isin(sqrt3/2))}{6(-sqrt3+i)) $

e gli altri due:

$ Res(\pi5/6) = \frac{1-isqrt3+e^(-1/2)(cos(sqrt3/2)-isin(sqrt3/2))+e^(1/2)(cos(sqrt3/2)+isin(sqrt3/2))}{6(sqrt3+i)) $

$ Res(\pi/2) = \frac{-2+e^-1+e}{12i} $

Da qui elimino la i dal denominatore (non li scrivo perchè viene qualcosa di davvero assurdo), e procedo ad applicare la formula ricordandomi che devo moltiplicare per $1/2$ il fattore $2\pii$, e dopo varie eliminazioni di fattori comuni ottengo ciò:

$ \pii{\frac{-4i-2ie^-1-2ie-ie^(-1/2)[2sqrt3sin(sqrt3/2)+ 2cos(sqrt3/2)]+ie^(1/2)[2sqrt3sin(sqrt3/2)-2cos(sqrt3/2)]}{24}} $

e moltiplicando per la i:

$ \pi{\frac{2+e^-1+e+e^(-1/2)[sqrt3sin(sqrt3/2)+ cos(sqrt3/2)]-e^(1/2)[sqrt3sin(sqrt3/2)-cos(sqrt3/2)]}{12}} $


che non corrisponde alla soluzione...dove sbaglio?? :oops: :oops: :oops:
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Re: Integrale con coseno complesso risoluzione con metodo dei residui

Messaggioda Euclidino » 05/03/2019, 08:52

kira.91 ha scritto:posso riscrivere l'integrale come:

\(\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2+cos(x)}{x^6+1}\)

applico al limite per trovare i residui la seguente formula:

$\lim_{x \to x_0} \frac{P(z)}{Q'(z)}$

quindi:

$lim_{z \to e^(i\pi/6)} \frac{z^2+cos(z)}{6z^5} = lim_{z \to e^(i\pi/6)} \frac{e^(i\pi/3)+cos(e^(i\pi/6))}{6e^(i\pi5/6)}$


Non è possibile utilizzare queste formule, perché, nel mezzo piano $\mbox{Im}(z)>0$ la funzione $\cos(z)$ non è limitata. Calcola piuttosto l'integrale $\int_{_\infty}^\infty \frac{x^2+e^{ix}}{x^6+1} dx$ quindi prendi la parte reale.
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