sottospazio e insieme chiuso

[cicalino]

Ciao a tutti,
oggi stavo studiando il teorema dell'alternativa su spazi di Hilbert, il cui enunciato suona così:
Sia $(A,D_A)$ un operatore densamente definito, $A:D_A\subseteq H\mapsto R_A\subseteq H$ tale che il suo range $R_A$ sia un insieme chiuso. Allora l'equazione $Ax=y$ ammette soluzioni se e solo se $y$ è perpendicolare a $ker(A^+)$.

Ora, l'ipotesi che non capisco è che $R_A$ debba essere un insieme chiuso. Nella dimostrazione, si afferma che:
essendo $R_A$ chiuso, è un sottospazio rispetto al quale $$H=R_A \oplus R_A^{\perp}$$.
dove col simbolo di perpendicolare si intende il completamento ortogonale di $R_A$ rispetto ad $H$. La mia domanda è: perché è necessario che sia chiuso per verificare tale proprietà? Secondo il teorema di decomposizione ortogonale, basta che un qualsiasi insieme $I$ sia un sottospazio di $H$ per affermare che
$$H=I\oplus I^{\perp}$$
quindi, sembrerebbe che essere chiuso significhi automaticamente essere un sottospazio, proprietà quest'ultima non vera a priori.

[otta96]

No, che sia un sottospazio segue dal fatto che l'operatore è lineare. Però devi comunque chiedere che sia chiuso perché quella decomposizione funziona con i sottospazi chiusi.
Se hai un sottospazio qualsiasi lo spazio lo scrivi come somma diretta (ortogonale) dello spazio ortogonale e l'ortogonale dell'ortogonale (che è uguale alla chiusura del sottospazio) dato che l'ortogonale è sempre chiuso.

[cicalino]

No, che sia un sottospazio segue dal fatto che l'operatore è lineare. Però devi comunque chiedere che sia chiuso perché quella decomposizione funziona con i sottospazi chiusi.
Se hai un sottospazio qualsiasi lo spazio lo scrivi come somma diretta (ortogonale) dello spazio ortogonale e l'ortogonale dell'ortogonale (che è uguale alla chiusura del sottospazio) dato che l'ortogonale è sempre chiuso.

ciao, innanzitutto grazie per la risposta. Continuo a non capire però. Nella dimostrazione del teorema di decomposizione non viene mai fuori la richiesta che l'insieme sia chiuso. Perché dovrebbe essere necessario prenderne la chiusura (ovvero l'ortogonale dell'ortogonale) se non è chiuso?
Oppure, il modo giusto di vederla potrebbe essere questo:
Poiché il teorema vale anche considerando $$M_{\perp}$$ e il suo ortogonale cioè $\bar{M}$, allora necessariamente l'insieme $M$ considerato deve essere chiuso.
O no?

[dissonance]

La decomposizione corretta è questa:
\[
H=\overline{I}\oplus I^\bot.\]
Qui la barra orizzontale sul sottospazio ne indica la chiusura.