Equazione con la gamma di Eulero nella fascia critica

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Sia considerato l'insieme
$$
D=\left\lbrace z \in \mathbb{C} : 0<\Re(z)<\frac{1}{2} \text{ or } \frac{1}{2}<\Re(z)<1 \right\rbrace
$$
ovvero la fascia critica senza la retta critica nella congettura di Riemann e sia data l'equazione
$$
\Gamma(z)
=
\dfrac
{\pi^z}
{\cos
\left(
\dfrac{\pi}{2} \cdot z
\right)
\cdot
2^{1-z}
}
\cdot
\dfrac
{1-2^{1-z}}
{1-2^z}
$$
nella quale $\Gamma(z)$ è la funzione Gamma di Eulero.
La mia domanda è se tale equazione ha qualche radice in $D$ (non la determinazione del suo valore ma solo la sua esistenza).
Io suppongo di no ma non riesco a dimostrarlo.
Ho posto questa stessa domanda su un altro forum e mi hanno consigliato di usare il teorema di Hermite ma non hanno saputo dirmi con certezza se in realtà è applicabile.
Vi ringrazio per un qualsiasi aiuto.

[dissonance]

Ho visto che ti hanno dato delle risposte sia su math stack exchange sia su math overflow, è buona norma includere qui dei link. Così la gente può sapere cosa succede sugli altri forum.

Comunque, non è "il" teorema di Hermite, ne avrà fatti cinquemila. È "un" teorema di Hermite che ti hanno consigliato di applicare, e dovresti chiedere alla persona che ti ha dato questo consiglio maggiori informazioni al riguardo. A che teorema si riferisce, esattamente? Dove si può trovare, con dimostrazione?

[randomize]

non sapevo se potevo mettere i link ad altri forum solo per questo non l'ho fatto comunque grazie per la precisazione, per la questione della domanda non gli ho chiesto altre specifiche perchè lui stesso ha detto che non lo ricorda con precisione e non ricorda nemmeno il riferimento, quindi ho proprio evitato ma gli ho chiesto di spiegarmi meglio la sua risposta e lui ripetuto "If my observation of the use of Hermite's theorem is correct".
poi ho posto la domanda su stack exchange e anche qui non ho avuto in pratica nessuna risposta, è stato più bravo perché ha capito che la mia domanda è equivalente a se $\eta(s)=\eta(1-s) \ne 0$ (Eta di Dirichlet) ha soluzioni nella fascia critica senza la retta critica. io avevo usato la funzione $XI$ di Riemann per ricondurla a come l'ho presentata pensando che lavorare con la funzione Gamma di Eulero fosse più facile. @dissonance a questo punto ti pongo la domanda alternativa $\eta(s)=\eta(1-s) \ne 0$ ha soluzioni nella fascia critica senza la retta critica? grazie