Teorema di Riesz-Fischer e completezza

[cicalino]

Ciao a tutti,
stavo studiando il teorema di Riesz-Fischer, il cui enunciato è:
Sia $\{\varphi_k\}$ un sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert $H$, e sia $\{c_k\}$ una successione appartenente a $l_2$, ovvero $$\sum_{k=1}^{\infty}|c_k|^2<\infty$$.
Allora esiste un elemento $f\in H$ tale che $c_k=(f,\varphi_k)$ e $$\sum_{k=1}^{\infty}|c_k|^2=||f||^2$$.

La mia domanda è molto semplice: questo teorema allora implica che in uno spazio di Hilbert ogni sistema ortonormale sia completo? L'uguaglianza di Parseval, la seconda tesi del teorema, è proprio la definizione di sistema completo.

[otta96]

Il teorema non ti dice che per ogni elemento vale l'uguaglianza di Parseval, ti dice solo che vale sostanzialmente per tutti i vettori dello span del tuo sistema ortonormale, quindi non implica quello che hai detto, anche perché è falso.

[cicalino]

Il teorema non ti dice che per ogni elemento vale l'uguaglianza di Parseval, ti dice solo che vale sostanzialmente per tutti i vettori dello span del tuo sistema ortonormale, quindi non implica quello che hai detto, anche perché è falso.

dunque la differenza sta nel fatto che l'uguaglianza di Parseval non vale a priori per qualsiasi $f\in H$, ma dal teorema sappiamo che ne esiste almeno uno? quindi, non è vero che il sistema è completo perché un sistema affinché sia completo deve valere l'uguaglianza di Parseval per ogni vettore di $H$. Giusto?

[otta96]

dunque la differenza sta nel fatto che l'uguaglianza di Parseval non vale a priori per qualsiasi $f\in H$, ma dal teorema sappiamo che ne esiste almeno uno?

Non è l'informazione principale del teorema ma sì.

quindi, non è vero che il sistema è completo perché un sistema affinché sia completo deve valere l'uguaglianza di Parseval per ogni vettore di $H$. Giusto?

Si.

[cicalino]

dunque la differenza sta nel fatto che l'uguaglianza di Parseval non vale a priori per qualsiasi $f\in H$, ma dal teorema sappiamo che ne esiste almeno uno?

Non è l'informazione principale del teorema ma sì.

quindi, non è vero che il sistema è completo perché un sistema affinché sia completo deve valere l'uguaglianza di Parseval per ogni vettore di $H$. Giusto?

Si.

grazie per la risposta. Mi serviva questa informazione per dimostrare che in uno spazio di Hilbert separabile esiste sempre una base di Schauder (o hilbertiana): infatti basterebbe avere la certezza che si possa sempre trovare un sistema ortonormale completo affinché sia una base (per un noto teorema secondo cui un sistema è completo se e solo se è un a base). Tuttavia, se non è il teorema di Riesz-Fischer ad assicurarlo, cosa lo assicura?

[otta96]

Se hai uno spazio di Hilbert separabile prendi un suo sottoinsieme denso numerabile e applicaci il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt e ottieni il tuo sistema ortonormale completo.
P. S. Altrimenti puoi dimostrare in modo meno costruttivo che OGNI spazio di Hilbert ha un sistema ortonormale completo usando il lemma di Kuratowski-Zorn.

[dissonance]

Se hai uno spazio di Hilbert separabile prendi un suo sottoinsieme denso numerabile e applicaci il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt e ottieni il tuo sistema ortonormale completo.
P. S. Altrimenti puoi dimostrare in modo meno costruttivo che OGNI spazio di Hilbert ha un sistema ortonormale completo usando il lemma di Kuratowski-Zorn.

Esatto: se lo spazio di Hilbert è separabile, l'esistenza di una base ortonormale si dimostra in modo costruttivo, altrimenti bisogna fare una "Zornification", come scritto sul libro di Reed e Simon (vol. 1).