Notazione $delta$-Dirac / distribuzioni

Ciao a tutti,
ho incontrato in molti testi di fisica ed ingegneria l'oggetto matematico delle distribuzioni con tutta la teoria annessa (formulazione debole, funzioni di green...) tuttavia non ho mai avuto all'università un vero e proprio corso di matematica che trattasse nel dettaglio l'argomento. Ultimamente mi sono messo un po' a studiare la teoria delle distribuzioni sulle delle dispense di un mio vecchio professore. Non sono sceso molto nel dettaglio per ora, ma sicuramente hanno fatto chiarezza, ma hanno portato anche tante confusione: soprattuto per quanto riguarda la notazione. Prenderò come esempio quello della delta di Dirac perché il caso "particolare" che più si incontra nelle discipline ingegneristiche e fisiche.

Innanzi tutto le distribuzioni (da quello che ho capito) sono funzionali lineari continui, quindi sono operatori. In particolare la $delta$ di Dirac dovrebbe essere una misura. Ora la delta di Dirac è definita, almeno sulle mie dispense, come

$\delta : D(R) \rightarrow R$
$\delta : \phi \rightarrow \phi(0)$

E quindi $< \delta, \phi > = \phi(0)$. Mi spiegate perché nei libri non di matematica si trova sempre $\int \delta(x)f(x)dx = f(0)$ ?? Secondo me non ha senso come scrittura...

Tuttavia ho notato quest'altra cosa invece:
$f(x_0) = f(x) \delta(x-x_0)$
Questa cosa ha perfettamente senso. Adesso immaginiamo di ripetere il procedimento per $x_1$, $x_2$ ecc... in questo modo troverò $f(x_1)$, $f(x_2)$, ecc... A questo punto mi verrebbe *intuitivamente* da scrivere:
$f(x) = \int f(x') \delta(x-x')dx'$
Però non mi torna nemmeno troppo.

Gradirei imparare a gestire la notazione con l'integrale perché in tutti i libri che uso viene usate ed anche perché, a mio avviso, è più comoda (nel senso che uno la usa senza sapere troppo la teoria e i risultati escono lo stesso... almeno per quello che se ne fai nei corsi di ingegneria o fisica).

Grazie in anticipo.


EDIT:

A questo punto mi verrebbe *intuitivamente* da scrivere:
$f(x) = \int f(x') \delta(x-x')dx'$

Ma ora che ci penso neanche troppo... anzi $f(x) = f(x')\delta(x-x') \forall x$ dovrebbe andare più che bene credo...

$f(x_0) = f(x) \delta(x-x_0)$
Questa cosa ha perfettamente senso.

E invece non ne ha affatto: esercizio, perché?

Sono d'accordo con fmnq, quella formula è completamente sbagliata.

Consiglio l'Appendice A di questo survey, molto ben scritto:

https://arxiv.org/pdf/1701.06895.pdf

per qualche informazione in più sui calcoli con la \(\delta\). Gli autori (Foschi - Oliveira e Silva) sono due matematici. In particolare, scrivere \(\int f(x)\delta(x-x_0)\, dx\) non è affatto scandaloso, a patto che uno sappia cosa sta facendo.

Proverò a leggere l'articolo, grazie.

Comunque pensavo che fosse una definizione anche quella: come ho definito la delta in $0$, analogamente lo potevo fare quel qualsiasi altro punto. Alla fine mi sembra solo un "cambio di variabili"...
Se $f(0) = \delta(x) f$ perché $f(x_1) = \delta(x_1) f$ non dovrebbe essere corretta ?

Comunque nelle dispense che sto leggendo c'è proprio scritto:

[...] quando la distribuzione in questione non è una funzione, è importante capire che la scrittura integrale non ha più alcun senso. Si eviti, ad esempio, l'uso della scrittura scorretta
$\int delta(x) \phi(x) dx = \phi(0)$
per indicare $< \delta, \phi> = \phi(0)$

Ultima modifica di dRic il 15/03/2019, 13:31, modificato 1 volta in totale.

Ma certo che no. Studi ingegneria? Credo che gli ingegneri chiamino la delta "impulso unitario" e la rappresentano in un grafico con una freccetta verso l'alto. Ora, il grafico di \(f(x_1)\) è quello di una costante, mentre il grafico di \(\delta(x_1)f(x)\) è quello di una freccetta in \(x_1\). Sono due cose completamente diverse.

Si studio ingegneria. Continuo a non capire... $\delta(x) phi(x) = \phi(0)$ è corretto per definizione, giusto ? Allora come è possibile che $\delta(x_1)\phi(x) != \phi(x_1)$ ?

[dissonance]

È sbagliato. Ciò che è corretto è
\[
\delta(x)\phi(x)=\delta(x)\phi(0),\]
e quindi, in un punto \(x_1\in\mathbb R\) arbitrario,
\[
\delta(x-x_1)\phi(x)=\delta(x-x_1)\phi(x_1).\]

Lascia perdere l'articolo che ti ho citato, non è quello che ti serve in questo momento.

P.S.: Prova piuttosto a dare un'occhiata a questa dispensa viewtopic.php?p=619849#p619849

Ultima modifica di dissonance il 15/03/2019, 13:39, modificato 1 volta in totale.

Si studio ingegneria. Continuo a non capire... $\delta(x) phi(x) = \phi(0)$ è corretto per definizione, giusto ? Allora come è possibile che $\delta(x_1)\phi(x) != \phi(x_1)$ ?

C'è differenza tra \(\int_{\mathbb R} \delta(x) \phi(x) = \phi(0)\) e \(\delta(x) \phi(x) = \phi(0)\); la prima cosa è ciò che definisce $\delta$, la seconda non ha senso. Moralmente, le distribuzioni non esistono se non accoppiate con la funzione di cui si stanno nutrendo.

Ah forse mi si accesa la lampadina. Ho una domanda.

La delta di dirac è "quel qualcosa" che prende una funzione e ne restituisce il valore in zero. E' un operatore. Perché si si scrive come un integrale?! Non ha senso secondo me questa cosa. Potevo inventarmi un qualsiasi altro simbolo...

Perché, per esempio, non si usa la delta di dirac così:
$T[f(x)] = f(0)$
??

Come mai si introduce l'integrale e come mai funziona tutto così bene ?

Guarderò le dispense comunque. Grazie ancora

Perché data una funzione integrabile $g\in \mathcal I(K) = V$ su un certo dominio $K$, l'insieme $V$ è uno spazio vettoriale (è semplicemente la chiusura delle funzioni integrabili wrt somma e riscalamento), e si ha che la mappa \(\int_Kg\cdot \_ : f\mapsto \int g\cdot f\) è un funzionale su $V$ (è cioè una mappa lineare \(\int_Kg\cdot \_ : V \to \mathbb R\), o se vuoi fare la persona seria, un elemento dello spazio duale di $V$; questo discende da note proprietà di $RR$-linearità dell'integrale associato a una misura).

Questa è praticamente la definizione di distribuzione, se la leggi su un testo successivo al 1950.