Notazione $delta$-Dirac / distribuzioni

[Luca.Lussardi]

Se vuoi ripristinare l'integrale dalla dualità che ti dà la definizione della $\delta$ basta che scrivi $\int \phi(x)d\delta_0(x)=\phi(0)$. Questa scrittura è corretta, ma con $dx$ no.

[vict85]

La notazione integrale deriva dal fatto che le seguenti sono distribuzioni:

• Le funzioni di \(L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})\) (le funzioni localmente integrabili), ed in questo caso vale \(\displaystyle \langle f, \phi\rangle = \int f\phi\,dx \) dove \(dx\) è la misura standard su \(\displaystyle \mathbb{R} \).
• Ogni misura \(\mu\) di Radon dove si ha \(\displaystyle \langle \mu, \phi \rangle = \int \phi\,d\mu \) (nota che il delta di dirac \(\delta\) e in generale le misure puntuali \(\delta_x\) possono essere viste come misure di Radon).

Esistono distribuzioni che non sono di questi due tipi ma poco importa ora. Il punto è che è comune vedere le distribuzioni come la generalizzazione del primo gruppo. Per il secondo gruppo il farlo è "accettabile" perché sotto certe ipotesi è possibile scrivere una misura attraverso un'altra.

[dRic]

Forse ho capito. Io parto dalla definizione della delta di dirac "generale", ovvero specificandone solo le proprietà. Dunque mi accorgo che quelle proprietà che ho definito in maniera "generale" le posso vedere come un integrale con la misura $\delta$.

In altre parole: la delta di Dirac non ha bisogno dell'integrale per essere definita, ma, una volta definita, puoi essere interpretata attraverso un particolare integrale. Corretto?

[vict85]

Il delta di dirac può essere definito in vari modi:

1. A partire dalla sua azione su \(C^{\infty}_c(\mathbb{R})\) ovvero dalla formula \( \displaystyle \langle \delta, \phi\rangle = \phi(0\).
2. Come la distribuzione indotta dalla misura di Dirac su \(\mathbb{R}\).
3. Come limite di una particolare successione in \(D'(R)\).
4. Come la derivata distribuzionale della funzione gradino di Heaviside.

E verosimilmente in molti altri modi.

Non esiste una definizione generale, ogn'una di queste definizioni può essere vista come la definizione della distribuzione di dirac. Sta a chi la usa scegliere la definizione che gli è più utile.

L'uso della notazione integrali ha ragioni storiche e "interpretative".

[dRic]

Ok ho capito grazie mille a tutti.

L'uso della notazione integrali ha ragioni storiche e "interpretative".

Comunque con notazione integrale comunemente si intende questa: $\int f(x)\delta(x)dx$ ? Perché proprio volendola usare allora sono d'accordo con @Luca.Lussardi quando dice che si dovrebbe scrivere $\int f(x) d\delta(x)$. Poi mi ricordo che $d\mu(x)$ viene spesso scritto come $\mu dx$, ma è una notazione che mi ha mandato in palla per parecchio tempo

[dissonance]

Secondo me, se sei un ingegnere, dovresti davvero leggerti la paginetta di Dirac in cui ha inventato la "funzione \(\delta\)". È una lettura molto più importante di tanta teoria delle distribuzioni. È da lì che viene l'uso, matematicamente errato ma molto efficace, di scrivere \(\delta(x)\, dx\). È un uso che approvo, e che ho visto in matematici di altissimo livello (vedi l'articolo di arXiv del mio post precedente).

[dRic]

Secondo me, se sei un ingegnere, dovresti davvero leggerti la paginetta di Dirac in cui ha inventato la "funzione \(\delta\)". È una lettura molto più importante di tanta teoria delle distribuzioni. È da lì che viene l'uso, matematicamente errato ma molto efficace, di scrivere \(\delta(x)\, dx\). È un uso che approvo, e che ho visto in matematici di altissimo livello (vedi l'articolo di arXiv del mio post precedente).

Cercherò di leggermela (anche se il link non mi funzione). Il mio "problema" è che lo scorso anno ho avuto un corso di "metodi matematici" con un prof che era veramente molto pignolo anche sulle notazioni e forse la cosa mi ha fatto più male che bene Perché alla fine non ho la dimestichezza per incaponirmi su questi concetti, però allo stesso tempo adesso ho la mente "traviata" (nel senso che non sono più l' ingegnere spensierato che "usa" la matematica a sentimento... ora mi faccio mille pippe mentali su cose che magari non capirò mai nemmeno tanto bene ).

[Luca.Lussardi]

Usare la notazione $\int f(x)\delta_0(x)dx$ va benissimo ovviamente ma a patto che si ricordi che non si tratta di un integrale fatto rispetto alla misura $dx$. Per evitare ogni ambiguità di notazione io a lezione ho sempre usato la dualità alla Dirac invece che l'integrale.

[dissonance]

Usare la notazione $\int f(x)\delta_0(x)dx$ va benissimo ovviamente ma a patto che si ricordi che non si tratta di un integrale fatto rispetto alla misura $dx$. Per evitare ogni ambiguità di notazione io a lezione ho sempre usato la dualità alla Dirac invece che l'integrale.

Certamente; è sicuramente più corretto dal punto di vista formale, e probabilmente va meglio per una lezione di matematica. Dipende da quello che uno fa, immagino. Nell'articolo che ho citato, che come notazioni risale a Klainerman e Machedon (anni '90), si usa \(\delta(x)\, dx\) per poter sfruttare questa formula:
\[
\delta(\phi(x))dx=\frac{d\sigma}{|\nabla \phi(x)|},\]
dove \(d\sigma\) è la misura superficiale su \(\{x\in\mathbb R^n\ :\ \phi(x)=0\}\). Questa formula permette di scrivere gli integrali di superficie come integrali su \(\mathbb R^n\); per esempio
\[
\int_{\mathbb S^{n-1}} f\, d\sigma = \int_{\mathbb R^n} f(x)\delta(1-|x|)\, dx, \]
perché \(\nabla(1-|x|)\) ha modulo \(1\) su \(\mathbb S^{n-1}\).

Il vantaggio di questa notazione è che il teorema della divergenza diventa, formalmente, una integrazione per parti standard. Infatti, usando la notazione \(H(t)\) per il gradino di Heaviside,
\[
\begin{split}
\int_{|x|\le 1}\partial_{x_j} f(x)\, dx &= \int_{\mathbb R^n} \partial_{x_j}f(x) H(1-|x|)\, dx \\
&=-\int_{\mathbb R^n} f(x)\partial_{x_j}\big( H(1-|x|)\big)\, dx \\
&= -\int_{\mathbb R^n} f(x)H'(1-|x|)\left( -\frac{x_j}{|x|}\right)\, dx \\
&=\int_{\mathbb R^n} f(x)\delta(1-|x|) x_j\, dx \\
&=\int_{\mathbb S^{n-1}}f n_j\ d\sigma,
\end{split}
\]
dove \(n_j\) denota la \(j\)-esima componente del versore normale a \(\mathbb S^{n-1}\). Qui ho preso la sfera, ma è solo un esempio; lo stesso calcolo si può fare su qualsiasi superficie, purché sia assegnata come luogo degli zeri di una funzione.