Esercizio su singolarità e poli

[harperf]

In attesa della risposta per l'altro questito vorrei porvi una domanda su questo esercizio:

Data

$f(z)=z^3/(sinz(1-cosz))$ si deve studiare la funzione ponendo l'interesse sui vari poli e di che tipo, punti regolari ecc.

Mi sono accorto che si tratta di una funzione con singolarità eliminabile in z=0, ho eseguito lo sviluppo e mi ritrovo senza parte singolare dello sviluppo di Laurent, cioè, in pratica, uno sviluppo di taylor.

Ho proseguito studiando l'annullamento dei due fattori a denominatore: e a parte lo zero che ho già studiato a parte questo accade se: $z=kpi$ con k pari. Con k dispari si annulla solo il seno.
Forte di questa cosa ho pensato che:
- ho poli semplici se k dispari (giusto)
- ho poli DOPPI se k pari (errore) la correzione dice che è un polo TRIPLO. Mi potreste aiutare per favore e correggere il mio errore mostrandomi come si fa?

Vi ringrazio moltissimo

[gugo82]

Di che ordine sono gli zeri di $1-cos z$?

[harperf]

Ciao gugo, grazie per la tua risposta.

In realtà non mi dice nulla il termine "ordine di uno zero", intendi l'ordine del polo?
Ho apena visto su internet su alcune dispense che si calcola come $lim_(x->x_0) f(x)(x-x_0)^n$ nel momento in cui risulta finito trovo l'ordine del polo.
Cioè: $lim_(x->2kpi) 1/(1-cosx)(x-2kpi)^n$ in questo caso n=2

Intendevi questo?
In tal caso avrei un ordine del polo due (per uno di ordine 1 del seno) cioè ordine 3, che parrebbe tornare. Però sono solo supposizioni, spero tu abbia voglia di mettermi a posto le idee al riguardo

Grazie

[gugo82]

Che libro usi?

[harperf]

Il rossetti è il libro consigliato per il corso, ma sto seguendo le lezioni di pari passo e il prof salta un pochino.
Diciamo che al momento sono di pari passo con le dispense e meno con il libro (che non ha tutte le cose trattate nel corso), insomma è un po' confuso. Sto cercando di fare il tutoraggio dopo lo studio della teoria, ma come vedi sono ancora un po' incerto e mi serve una mano

Ho detto solo cavolate prima? Il dubbio è cosa sia l'ordine di uno zero e come usarlo per quell'esercizio, credo mi farebbe molto bene capirlo:)

Grazie ancora gugo!

[gugo82]

L’ordine di uno zero è definito come nel caso reale... Ricordi la classificazione degli infinitesimi?

Per il resto, dai uno sguardo qui, poi studia dal libro e ne riparliamo appena ho un po’ di tempo.

[harperf]

Grazie al tuo link ho compreso in modo più razionale il perché il tutore sembrasse "annullare" gli zeri a numeratore e denominatore.

Forse ho inteso cosa intendi come ordine di uno zero, grazie alla tua domanda, vediamo se confermi:

Ricordi la classificazione degli infinitesimi?

Credo mi sia stata definita come ordine di infinitesimo (e parte principale di uno sviluppo) in analisi 1, in sostanza sviluppando con taylor (1-cosx) il primo termine non nullo è la parte principale e la potenza di (x-x0) sarà l'ordine, effettivamente nel mio caso sviluppando attorno a z=0 mi rimane una $z^2$ (potrei usare al posto dello sviluppo il semplice limite notevole cioè lo sviluppo arrestato al primo ordine che in questo caso basta e avanza)

Il punto è che io dovrei svilupparla attorno a $z=2kpi$, cioè i $z=k'pi$ con k' pari, cioè avrei:

Procedo per semplicità con $k=2pi$
$1/2(z-2pi)^2-1/24(z-2pi)^4+o(z-2pi)^6$

E poiché il primo esponente del termine binomiale è 2 avrei uno zero di ordine 2, credo.

Tuttavia anche questo giochetto mi sembra funzionare:

$lim_(x->2kpi) 1/(1-cosx)(x-2pi)^2$

alla fin fine non sto facendo altro che annullare proprio quel $(x-x_0)^2$ che è quello chemi determina l'ordine dell'infinitesimo, quando arrivo a limete finito et voilà ti trovi l'ordine dello zero! no?

Ti ringrazio, e aspetterò quando avrai più tempo. Ovviamente continuando ad approfondire

[harperf]

Scrivo per aggiornare, ho letto le dispense finalmente caricate dal prof e ho scoperto che l'ordine di uno zero è così definito:

Un punto regolare $z=z_0$ della funzione $f(z)$ è uno zero di ordine n se la funzione si annulla in quel punto, le prime n-1 derivate si annullano in $z_0$ la derivata n-esima è diversa da zero in quel punto.

Effettivamente il fatto che la derivata prima, seconda n-1(esima), sia zero, fa si che si annullino i primi coefficienti di Taylor e rimanga quello con l'ordine n che sarà l'ordine del mio zero.