Zeri e Singolarità di Funzioni Olomorfe

[gugo82]

- Introduzione -

Vista la crescente richiesta di chiarimenti su tale argomento, ho pensato di scrivere qualcosa che riassumesse alcuni fatti elementari (a me noti ed oltremodo utili da applicare negli esercizi) sulla classificazione degli zeri e delle singolarità delle funzioni olomorfe.

Mi propongo di strutturare questo thread come segue:

1. a parte questa breve introduzione ed un paragrafo sulle notazioni, il primo post è dedicato alla classificazione degli zeri delle funzioni olomorfe;
   
   
2. il secondo post è dedicato alla classificazione delle singolarità isolate;
   
   
3. il terzo post sarà dedicato al legame esistente tra le due nozioni (di zero e di singolarità) e le rispettive classificazioni;
   
   
4. il quarto conterrà lo svolgimento di qualche esercizio ed i link agli esercizi più significativi che si trovano già svolti sul forum.

L'analisi degli esempi (usualmente semplici) è lasciata al lettore come esercizio.

Chiunque voglia segnalare errori, imprecisioni o modifiche da apportare a questi post (o, perché no, ringraziarmi per averli scritti) è pregato di inviarmi un PM.
Grazie.

***

Notazione e Prerequisiti:

Quando non espressamente detto il contrario, qui e nei post successivi supporremo che:

• $Omega subseteq CC$ è aperto,
  
  
• $f:Omega -> CC$ è una funzione olomorfa in $Omega$,
  
  
• $z_0 in CC$.

Supponiamo cosa nota, inoltre, che una funzione olomorfa $f$ in $Omega$ è di classe $C^oo (Omega)$ (cioè è dotata di derivate complesse d'ordine comunque elevato in ogni punto di $Omega$) e che, di più, $f$ è analitica in ogni punto di $Omega$ (cioè che lo sviluppo in serie di Taylor $sum_(n=0)^oo c_n (z-z_0)^n$ di $f$ con centro in ogni $z_0 \in Omega$ converge verso $f$ in un opportuno intorno circolare di $z_0$ con raggio positivo).

***

- Zeri di Funzioni Olomorfe -

Supponiamo che $z_0 in Omega$.

Si dice che $z_0$ è uno zero di $f$ in $Omega$ se risulta $f(z_0)=0$.

Denotando (come si usa da Analisi I) con $f^((k))$ la derivata $k$-esima di $f$, possiamo precisare cosa si itende per ordine di uno zero di una funzione olomorfa:

Sia $z_0$ uno zero di $f$ in $Omega$.
Se esiste un numero $nu in NN \setminus \{ 0\}$ tale che:
\[
\begin{cases}
f^{(\nu)}(z_0) \neq 0 \\
f^{(n)}(z_0) = 0 &\text{per ogni } 0\leq n < \nu
\end{cases}
\]
si dice che $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ in $Omega$ ed il numero $nu$ si chiama ordine di $z_0$.

Se, invece, un tale $nu in NN\setminus \{0\}$ non esiste, ossia se risulta:
\[
f^{(n)} (z_0) = 0 \text{ per ogni } n \in \mathbb{N}\; ,
\]
si dice che $z_0$ è uno zero d'ordine infinito per $f$ in $Omega$.

Dunque, per definizione, l'ordine $nu$ di uno zero di una funzione olomorfa coincide con l'ordine della prima tra le derivate di $f$ che non si annulla in $z_0$. Ciò fornisce un metodo diretto per calcolare l'ordine di uno zero sfruttando il Calcolo Differenziale.

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Per proporre un esempio semplice, consideriamo la funzione $f(z) := e^((z-1)^2) - 1$.
In $z_0=1$ abbiamo:
\[
\begin{split}
f(z) = e^{(z-1)^2} - 1 \quad &\Rightarrow \quad f(1) = e^0 - 1 = 0\\
f^\prime (z) = 2(z-1)e^{(z-1)^2} \quad &\Rightarrow \quad f^\prime (1) = 0e^0 = 0\\
f^{\prime \prime} (z) = 2(2z^2 - 4z +3)e^{(z-1)^2} \quad &\Rightarrow \quad f^{\prime \prime} (1) = 2e^0 = 2\neq 0
\end{split}
\]
quindi $z_0=1$ è uno zero d'ordine $nu = 2$.

Vale, in maniera ovvia, il seguente fatto:

Il punto $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ in $Omega$ se e solo se:
\[
\begin{cases}
c_\nu \neq 0 \\
f(z) = \sum_{n=\nu}^\infty c_n\ (z-z_0)^n \text{, per ogni } z \in D(z_0;r) \subseteq \Omega \text{ ($r>0$)}
\end{cases}
\]
(qui e nel seguito $D(z_0;r)=\{z in CC:\ |z-z_0|<r\}$ è l'intorno circolare aperto di $z_0$ di raggio $r>0$).

il che significa che la serie di Taylor di $f$ di centro $z_0$ non contiene nessuna potenza di $z-z_0$ con esponente minore di $nu$; inoltre, dal teorema precedente discende immediatamente che:

Il punto $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ in $Omega$ se e solo se:
\[
\lim_{z\to z_0} \frac{f(z)}{(z-z_0)^n} = \begin{cases} 0 &\text{, se } 0\leq n < \nu \\ l \in \mathbb{C}\setminus \{0\} &\text{, se } n=\nu \\ \infty &\text{, se } n>\nu \end{cases}
\]
(ovviamente $n in NN$), ossia se esiste un $l!=0$ tale che $f(z) = l*(z-z_0)^nu + text(o)( (z - z_0)^nu)$ per $z -> z_0$.

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La funzione $f(z) = e^((z-1)^2) - 1$ dell'esempio precedente ha in $z_0=1$ uno zero d'ordine $nu =2$.
Proviamo questo fatto usando tecniche che sfruttano i teoremi precedenti.
Sviluppando in serie con l'ausilio della nota serie di Taylor $e^w = sum_(n=0)^oo 1/(n!) w^n$ otteniamo:
\[
f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ (z-1)^{2n} - 1 = 1 + (z-1)^2 + \frac{1}{2} (z-1)^4 +\cdots + \frac{1}{n!}\ (z-1)^{2n} + \cdots - 1 = (z-1)^2 + \frac{1}{2} (z-1)^4 +\cdots + \frac{1}{n!}\ (z-1)^{2n} + \cdots
\]
e da ciò segue che $nu = 2$.
Analogamente, calcolando il limite con l'ausilio del Principio di Sostituzione degli Infinitesimi, otteniamo:
\[
\lim_{z\to 0} \frac{e^{(z-1)^2} - 1}{(z-1)^n} = \lim_{z\to 0} \frac{(z-1)^2}{(z-1)^n} = \begin{cases} 0 &\text{, se } n<2 \\ 1 &\text{, se } n=2\\ \infty &\text{, se } n>2\end{cases}
\]
cosicché ritroviamo $nu=2$.

Più delicato è il seguente teorema (immagino pure noto) che è usualmente chiamato Principio d'Identità delle Funzioni Analitiche (PIFA):

Se $Omega$ è un aperto connesso, $f$ ha uno zero d'ordine infinito in $z_0 in Omega$ se e solo se $f(z)=0$ identicamente in $Omega$.

il quale afferma che l'unica funzione olomorfa in un aperto connesso che può avere zeri d'ordine infinito è la funzione identicamente nulla, chiudendo in maniera quasi definitiva la questione degli zeri d'ordine infinito.¹

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Il PIFA può essere reso più preciso. Invero, si dimostra che se $z_0$ non è uno zero isolato (i.e., se $f(z_0)=0$ ed in ogni intorno di $z_0$ esiste un punto $zeta != z_0$ tale che $f(zeta)=0$) oppure se $z_0$ è un punto di accumulazione di zeri di $f$ (i.e., se esiste una successione $(z_n) subset Omega$ tale che $f(z_n)=0$ per ogni $n$ e che $z_n -> z_0$), allora $z_0$ è uno zero d'ordine infinito per $f$ e, di conseguenza, $f$ è nulla in $Omega$.
Riassumendo: se una funzione olomorfa $f$ ha uno zero $z_0$ che ha ordine infinito, o che non è isolato o se $f$ si annulla in punti interni al dominio che hanno un'accumulazione $z_0$ interna al dominio, allora la $f$ è identicamente nulla intorno a $z_0$ (ed in tutto l'aperto, se esso è connesso); da ciò segue che le funzioni olomorfe che non sono identicamente nulle (intorno ad alcun punto interno al loro aperto di definizione) hanno solo zeri d'ordine finito ed isolati interni al proprio dominio.

Le cose cambiano in modo ovvio quando si analizza il comportamento all'infinito. In particolare:

Si dice che $oo$ è uno zero di $f$ se e solo se la funzione ausiliaria:
\[
g(w) := f\left( \frac{1}{w}\right)
\]
ha uno zero in $w_0=0$, i.e. se $g(0)=0$.

Si dice che $oo$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ se e solo se $g$ ha uno zero d'ordine $nu$ in $w_0=0$.

I cambiamenti dovuti alla sostituzione $z=1/w$ si riflettono in maniera del tutto ovvia sui risultati precedenti:

Il punto $oo$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ se e solo se:
\[
\begin{cases}
c_{-\nu} \neq 0 \\
f(z) = \sum_{n=\nu}^\infty c_{-n}\ \frac{1}{z^n} \text{, per ogni } z \in \Omega \text{ con $|z|>R>0$}
\end{cases}\; .
\]

il che significa che la serie di Laurent che converge ad $f$ intorno ad $oo$ non contiene nessuna potenza di $1/z$ con esponente minore di $nu$; e dal precedente risultato segue che:

Il punto $oo$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ se e solo se:
\[
\lim_{z\to \infty} z^n \cdot f(z) = \begin{cases} 0 &\text{, se } 0\leq n < \nu \\ l \in \mathbb{C}\setminus \{0\} &\text{, se } n=\nu \\ \infty &\text{, se } n>\nu \end{cases}
\]
(ovviamente $n in NN$), cioè se esiste $l != 0$ tale che $f(z) = l/z^nu + text(o)(1/z^nu)$ per $z -> oo$.

Esempi:
Il lettore faccia i conti che servono a dimostrare quanto riportato di seguito.

• La funzione $f(z):=z^4$ ha uno zero d'ordine $4$ in $z_0=0$;
  
  
• la funzione $f(z) := e^{z-mathbf(i)) -1$ ha uno zero d'ordine $1$ in $z_0=mathbf(i)$ ed in ogni punto del tipo $z_k = mathbf(i) + 2kpi mathbf(i)$ (con $k in ZZ$);
  
  
• la funzione $f(z):= cos z -1$ ha uno zero d'ordine $2$ in $z_0=0$ ed in ogni punto del tipo $z_k=2kpi$ (con $k in ZZ$);
  
  
• la funzione $f(z) := e^{z-z^2} - 1$ ha uno zero d'ordine $1$ in $z_0=0$ ed in $z_1=1$;
  
  
• la funzione $f(z) := \sin^3 (z^2)$ ha uno zero d'ordine $6$ in $z_0=0$ e d'ordine $3$ in $z_1=sqrt(pi)$;
  
  
• la funzione $f(z) := cos(1/z) - 1$ ha uno zero d'ordine $2$ in $oo$;
  
  
• la funzione $f(z) := e^((z-1)/z^2) - 1$ ha uno zero d'ordine $1$ in $oo$.

Il seguente teorema è di semplice dimostrazione ed illustra una proprietà fondamentale dell'ordine degli serie:

Se $z_0 in CC uu \{ oo \}$ è uno zero per due funzioni olomorfe $f_1$ ed $f_2$ d'ordine, rispettivamente, $nu_1$ e $nu_2$ allora:

1. $f_1+-f_2$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $nu >= min \{ nu_1, nu_2\}$;
   
   
   
2. $f_1*f_2$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $nu = nu_1+nu_2$;
   
   
   
3. $f_1^p$ ($p in NN \setminus \{ 0\}$) ha in $z_0$ uno zero d'ordine $nu = p nu_1$.

La disuguaglianza per l’ordine di uno zero di $f_1 +- f_2$ può essere stretta, i.e. può accadere che $nu > min \{ nu_1, nu_2\}$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ad esempio, le funzioni $f_1(z) := z$ e $f_2(z) := z^2 - z$ hanno in $z_0=0$ uno zero d’ordine $nu_1=1=nu_2$, però la funzione $f_1(z)+f_2(z) := z^2$ ha in $z_0$ uno zero d’ordine $nu=2 > 1 = min \{ nu_1,nu_2\}$.

Dunque, in generale, per stabilire esattamente l’ordine di uno zero per la somma algebrica di due funzioni olomorfe è necessario sviluppare in serie di Taylor.

Esempi:
Il lettore dimostri quanto segue.

• la funzione $f(z)=z$ ha in $z_0=0$ uno zero d’ordine $1$, perciò ogni funzione potenza $f_n(z) := z^n = f^n(z) $ ha in $z_0=0$ uno zero d’ordine $n*1=n$;
  
  
• le funzioni $f_1(z) := z$ ed $f_2(z) := sin z$ hanno zero del primo ordine in $z_0=0$, perciò il loro prodotto $f(z) := z*sin z$ ha in $z_0=0$ uno zero d’ordine $2$;
  
  
• le funzioni $f_1(z) := 2(cos z - 1)$ ed $f_2(z) := e^(z^2) - 1$ hanno in $z_0=0$ uno zero entrambe di ordine $2$, perciò il loro prodotto $f(z) := 2 (cos z - 1)*( e^(z^2) - 1)$ ha in $z_0=0$ uno zero d’ordine $4$;
  
  
• se $f_1$ ed $f_2$ sono come al punto precedente, l’ordine di $z_0=0$ come zero di $f_1 + f_2$ è $nu >= 2$; per calcolare esattamente $nu$, sviluppiamo in serie di Taylor ottenendo:
  \[
  \left. \begin{split} 2 (\cos z - 1) &= - z^2 + \frac{1}{12} z^4 - \frac{1}{360} z^6 + \cdots + \frac{2 \cdot (-1)^k}{(2k)!} z^{2k} + \cdots \\ e^{z^2} - 1 &= z^2 + \frac{1}{2} z^4 + \frac{1}{6} z^6 + \cdots + \frac{1}{k!} z^{2k} + \cdots \end{split} \right\}\quad \Rightarrow \quad f(z) = \frac{7}{12} z^4 - \frac{59}{360} z^6 + \cdots
  \]
  cosicché $nu = 4$.
  
  
• la funzione $f(z) = cosh z - e^z$ ha uno zero in $z_0=0$; per stabilirne l’ordine sviluppiamo gli addendi in serie di Taylor:
  \[
  \left. \begin{split} \cosh z &= 1 + \frac{1}{2} z^2 + \frac{1}{24} z^4 + \cdots + \frac{1}{(2k)!} z^{2k} + \cdots \\ e^z &= 1 + z + \frac{1}{2} z^2 + \frac{1}{6} z^3 + \cdots + \frac{1}{n!} z^n + \cdots \end{split} \right\}\quad \Rightarrow \quad f(z) = -z - \frac{1}{6} z^3 - \cdots - \frac{1}{(2k+1)!}z^{2k+1} + \cdots = - \sinh z
  \]
  è da ciò appare evidente che $z_0=0$ è uno zero d’ordine $1$.

---

Note

1. Ciò non accade nel caso reale ed è la principale differenza tra la teoria delle funzioni reali (Analisi Reale) e quella delle funzioni complesse (Analisi Complessa).
   Infatti la funzione $f:RR -> RR$ definita ponendo:
   \[
   f(x) := \begin{cases} e^{-1/x^2} &\text{, se } x\neq 0\\ 0 &\text{, se } x=0 \end{cases}
   \]
   è di classe $C^oo(RR)$ ed ha tutte le derivate nulle in $0$ pur non essendo identicamente nulla in $RR$. ↑

[gugo82]

- Singolarità Isolate -

Supponiamo che $Omega$ sia l’aperto d’olomorfia massimale per $f$¹ e $z_0 \in partial Omega$.

Il punto $z_0$ si chiama singolarità isolata per $f$ se esso è un punto isolato della frontiera $partial Omega$, ossia se esiste un intorno circolare forato $D^\prime (z_0; r) = D(z_0,r) \setminus \{ z_0\}$ tutto contenuto in $Omega$.

Un noto teorema, detto Teorema dello Sviluppo in Serie di Laurent, afferma quanto segue:

Sia $z_0$ una singolarità isolata di $f$.
Esistono un disco forato $D^\prime (z_0;r) subseteq Omega$ ed un'unica successione bilatera $(c_n)_(n in ZZ) subset CC$ tali che:
\[
\tag{L}
\begin{split}
f(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty c_n\ (z-z_0)^n \\
&= \underbrace{\sum_{n=0}^\infty c_n\ (z-z_0)^n}_{=: f_R(z)} + \underbrace{\sum_{n=1}^\infty c_{-n}\ \frac{1}{(z-z_0)^n}}_{=: f_S (z)}
\end{split}
\]
per ogni $z in D^\prime (z_0;r)$, con convergenza uniforme in ogni corona circolare $r_1<|z-z_0|<r_2$ "ben contenuta" in $D^\prime (z_0;r)$ (ossia con raggi $0<r_1<r_2<r$).

Lo sviluppo in serie al secondo membro della (L) si chiama sviluppo di $f$ in serie di Laurent centrato in $z_0$; le funzioni $f_R$ ed $f_S$ che si ottengono come somma delle serie di potenze non negarive e negative di $z-z_0$ al terzo membro della (L) si chiamano, rispettivamente, parte regolare e parte singolare (dello sviluppo di Laurent) di $f$ in $z_0$.
Il Teorema sullo Sviluppo in Serie di Laurent si usa per dare le seguenti definizioni:

Il punto singolare isolato $z_0$ è detto:

• singolarità eliminabile per $f$ se e solo se $f_S (z)=0$ in $D^\prime (z_0;r)$;
  
  
• singolarità polare (o, semplicemente, polo) per $f$ d'ordine $nu$ se e solo se esiste $nu in NN \setminus \{ 0\}$ tale che:
  \[
  \begin{cases}
  c_{-\nu} \neq 0 \\
  f_S(z) = \sum_{n=1}^\nu c_{-n}\ \frac{1}{z^n}\quad \text{ in } D^\prime (z_0;r)
  \end{cases}\; ,
  \]
  ossia se la parte singolare di $f$ contiene la potenza $1/(z-z_0)^nu$ e non contiene potenze di $1/(z-z_0)$ con esponente maggiore di $nu$;
  
  
• singolarità essenziale per $f$ se e solo se $z_0$ non è né eliminabile né polare, cioè se e solo se la parte singolare di $f$ in $z_0$ contiene infinite potenze negative di $1/(z-z_0)$.

Per applicare nella pratica le definizioni appena date si deve, evidentemente, conoscere lo sviluppo in serie di Laurent della funzione assegnata intorno al punto singolare isolato che interessa classificare... Tuttavia, non è sempre semplice avere questa informazione in maniera immediata. Si pone così il problema di trovare metodi alternativi che consentano di capire (anche senza ricavare necessariamente lo sviluppo di Laurent) se un certo punto singolare isolato è di tipo eliminabile, polare od essenziale.
Con un po' di attenzione si dimostrano i seguenti fatti che servono allo scopo:

Il punto singolare isolato $z_0$ è:

• una singolarità eliminabile per $f$ se e solo se il \(\lim_{z\to z_0} f(z) \) esiste finito in $CC$;
  
  
• una singolarità polare per $f$ se e solo se \(\lim_{z\to z_0} f(z) = \infty\); in particolare $z_0$ è un polo di ordine $nu$ se e solo se:
  \[
  \lim_{z\to z_0} (z - z_0)^n\cdot f(z) = \begin{cases} \infty &\text{, se } 0\leq n < \nu \\ l \in \mathbb{C}\setminus \{ 0\} &\text{, se } n = \nu \\ 0 &\text{, se } n>\nu \end{cases}\; ,
  \]
  ossia se $f(z) = 1/(z - z_0)^nu + text(O)(1/(z - z_0)^nu)$ per $z -> z_0$;
  
  
• una singolarità essenziale per $f$ se il limite \(\lim_{z\to z_0} f(z)\) non esiste in $CC uu \{ oo\}$.

Si possono fornire anche condizioni più "precise" per distinguere la singolarità di tipo polare da quella di tipo essenziale, le quali condizioni coinvolgono il minimolimite della funzione reale $|f(z)|$; tuttavia tali condizioni sono raramente utilizzate nella pratica e preferiamo non citarle.

C'è un certo interesse a studiare cosa accade in $oo$, poiché $oo$ è sempre un punto di frontiera per gli aperti non limitati.
La situazione è analoga a quella vista in precedenza per gli zeri, poiché lo studio della singolarità in $oo$ si fa sempre per mezzo della funzione ausiliaria:
\[
g(w)=f\left( \frac{1}{w}\right)
\]
ottenuta da $f$ mediante la sostituzione $z=1/w$. In particolare, si danno le seguenti definizioni e valgono i seguenti teoremi:

Il punto $oo$ è una singolarità isolata per $f$ se e solo se $0$ è una singolarità isolata per $g$, ciò equivale a dire che $Omega$ contiene tutta la regione esterna ad un cerchio chiuso di centro $0$.

Sia $oo$ una singolarità isolata di $f$.
Esistono un disco forato $D (0;r)$ ed un'unica successione bilatera $(c_n)_(n in ZZ) subset CC$ tali che:
\[
\tag{L}
\begin{split}
f(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty c_n\ z^n \\
&= \underbrace{\sum_{n=0}^\infty c_{-n}\ \frac{1}{z^n}}_{=: f_r(z)} + \underbrace{\sum_{n=1}^\infty c_n\ z^n}_{=: f_s (z)}
\end{split}
\]
per ogni $z in CC\setminus D (0;r)$, con convergenza uniforme fuori da ogni cerchio $|z-z_0|<r_1$ con raggio $r_1 > r$).

Come prima, lo sviluppo in serie al secondo membro della (L) si chiama sviluppo di $f$ in serie di Laurent centrato in $oo$; le funzioni $f_r$ ed $f_s$ che si ottengono come somma delle serie di potenze non positive e positive di $z$ al terzo membro della (L) si chiamano, rispettivamente, parte regolare e parte singolare (dello sviluppo di Laurent) di $f$ in $oo$.
N.B.: La parte regolare in $oo$ contiene le potenze di $1/z$ e quella singolare le potenze di $z$ (contrariamente a quanto succede se $z_0$ è al finito)!!!

Il punto singolare isolato $oo$ è detto:

• singolarità eliminabile per $f$ se e solo se $f_s(z)=0$ in $CC \setminus D(0;r)$, ossia se lo sviluppo di Laurent di $f$ intorno a $oo$ non contiene nessuna potenza di $z$;
  
  
• singolarità polare (o, semplicemente, polo) per $f$ d'ordine $nu$ se e solo se esiste $nu in NN \setminus \{ 0\}$ tale che:
  \[
  \begin{cases}
  c_\nu \neq 0 \\
  f_s(z) = \sum_{n=1}^\nu c_n\ z^n\quad \text{ in } \mathbb{C}\setminus D(0;r)
  \end{cases}\; ,
  \]
  ossia se la parte singolare di $f$ contiene la potenza $z^nu$ e non contiene potenze di $z$ con esponente maggiore di $nu$;
  
  
• singolarità essenziale per $f$ se e solo se $oo$ non è né eliminabile né polare, cioè se e solo se la parte singolare di $f$ in $z_0$ contiene infinite potenze di $z$.

Il punto singolare isolato $oo$ è:

• una singolarità eliminabile per $f$ se e solo se il \(\lim_{z\to \infty} f(z) \) esiste finito in $CC$;
  
  
• una singolarità polare per $f$ se e solo se \(\lim_{z\to \infty} f(z) = \infty\); in particolare $z_0$ è un polo di ordine $nu$ se e solo se:
  \[
  \lim_{z\to \infty} \frac{1}{z^n}\cdot f(z) = \begin{cases} \infty &\text{, se } 0\leq n < \nu \\ l \in \mathbb{C}\setminus \{ 0\} &\text{, se } n = \nu \\ 0 &\text{, se } n>\nu \end{cases}\; ,
  \]
  ossia se $f(z) = z^nu + text(O) (z^nu)$ per $z -> oo$;
  
  
• una singolarità essenziale per $f$ se il limite \(\lim_{z\to \infty} f(z)\) non esiste in $CC uu \{ oo\}$.

Esempi:
Il lettore svolga i calcoli necessari a dimostrare quanto affermato qui sotto.

• La funzione $f(z):=1/z^4$ ha un polo d'ordine $4$ in $z_0=0$ ed una singolarità eliminabile in $oo$;
  
  
• la funzione $f(z) := e^{1/z} -1$ ha una singolarità essenziale in $0$ ed una singolarità eliminabile in $oo$;
  
  
• la funzione $f(z):= cos (1/(z-pi)^2)$ ha una singolarità essenziale in $pi$ ed una singolarità eliminabile in $oo$;
  
  
• la funzione $f(z) := e^z$ ha una singolarità essenziale in $oo$;
  
  
• la funzione $f(z) := \sin^3 (1/z^2) + sin^3 (z^2)$ ha una singolarità essenziale in $z_0=0$ ed un polo d'ordine $6$ in $oo$;
  
  
• la funzione $f(z) := cos z - 1$ ha una singolarità essenziale in $oo$;
  
  
• la funzione $f(z) := e^((z-1)/z^2) - 1$ ha singolarità essenziale in $z_0=0$ e una singolarità eliminabile in $oo$.

Come per l’ordine degli zeri sussistono alcune semplici regole per ricavare l’ordine di singolarità di somme algebriche e prodotti: invero, con un po’ di attenzione, si dimostrano i seguenti fatti:

Siano $f_1$ ed $f_2$ funzioni olomorfe in $Omega$ e sia $z_0$ un punto singolare per entrambe.

• Se $f_1$ ed $f_2$ hanno entrambe singolarità eliminabili in $z_0$, allora $f_1 +- f_2$ ha una singolarità eliminabile in $z_0$;
  
  
• se:
  
  1. $f_1$ ha un polo d’ordine $nu_1$ ed $f_2$ ha una singolarità eliminabile in $z_0$, oppure
     
  2. $f_1$ ed $f_2$ hanno poli d’ordini $nu_1 != nu_2$ in $z_0$,
  allora $f_1 +- f_2$ ha polo in $z_0$ d’ordine $nu = nu_1$ (caso a) o $nu = max \{ nu_1, nu_2\}$ (caso b);
  
  
• se $f_1$ ha una singolarità essenziale ed $f_2$ ha una singolarità polare od eliminabile in $z_0$, allora $f_1 +- f_2$ ha una singolarità essenziale in $z_0$;
  
  
• nulla si può dire, in generale, se $f_1$ ed $f_2$ hanno entrambe poli dello stesso ordine o entrambe singolarità essenziali in $z_0$.

Siano $f_1$ ed $f_2$ funzioni olomorfe in $Omega$ e sia $z_0$ un punto singolare per entrambe.

• Se:
  
  1. $f_1$ ed $f_2$ hanno entrambe singolarità eliminabili in $z_0$, oppure
     
  2. $f_1$ ha un polo d’ordine $nu_1$ in $z_0$ ed $f_2$ ha una singolarità eliminabile che è uno zero d’ordine $nu_2 >= nu_1$,
  allora $f_1 * f_2$ ha una singolarità eliminabile in $z_0$;
  
  
• se:
  
  1. $f_1$ ha un polo d’ordine $nu_1$ ed $f_2$ ha una singolarità eliminabile in $z_0$ che non è uno zero, oppure
     
  2. $f_1$ ha un polo d’ordine $nu_1$ ed $f_2$ ha una singolarità eliminabile in $z_0$ che è al più uno zero d’ordine $nu_2 < nu_1$, oppure
     
  3. $f_1$ ed $f_2$ hanno poli d’ordini $nu_1$ e $ nu_2$ in $z_0$,
  allora $f_1 * f_2$ ha polo in $z_0$ d’ordine $nu = nu_1$ (caso a), $nu = nu_1 - nu_2$ (caso b) ovvero $nu = nu_1 + nu_2$ (caso c);
  
  
• se $f_1$ ha una singolarità essenziale ed $f_2$ ha una singolarità polare od eliminabile in $z_0$ che non è uno zero d’ordine infinito, allora $f_1 * f_2$ ha una singolarità essenziale in $z_0$.

Siano $f_1$ una funzione olomorfa in $Omega$, $p in NN \setminus \{0\}$ e $z_0$ un punto singolare isolato per $f_1$.
La funzione $f_1^p$ ha in $z_0$ lo stesso tipo di singolarità che vi ha $f_1$; in particolare, se $f_1$ ha in $z_0$ un polo d’ordine $nu_1$, allora $f_1^p$ ha in tal punto un polo d’ordine $nu = p*nu_1$.

Esempi:
Il lettore svolga i calcoli necessari a dimostrare la validità delle affermazioni seguenti.

• La funzione $ f(z) := 1/z^n$ ha in $z_0=0$ un polo d’ordine $n$;
  
  
• la funzione $f(z) := 1/(z^2-z)$ ha due poli d’ordine $1$ nei punti $z_0=0$ e $z_1=1$;
  
  
• la funzione $f(z) := 1/(cos z - 1)^4$ ha in $z_0=0$ un polo d’ordine $8$: infatti, dato che $cos z - 1$ ha in $z_0$ uno zero d’ordine $2$ (cfr. esempi del post precedente) si ha $cos z - 1 = 1/2 z^2 + text(o)(z^2)$ e perciò:
  \[
  \lim_{z \to z_0} z^2 f(z) = \lim_{z \to 0} \frac{z^2}{\frac{1}{2} z^2 + \text{o}(z^2)} = 2\; ,
  \]
  cosicché $1/(cos z - 1)$ ha un polo d’ordine $2$ in $z_0=0$ e, conseguentemente, $f$ ha un polo d’ordine $nu=4*2=8$ nello stesso punto;
  
  
• la funzione $f(z) := (e^(z^2) - 1)/(sinh z)$ è singolare in $z_0=0$; essa è il prodotto di $f_1(z) := e^(z^2) - 1$, che ha in $0$ uno zero d’ordine $2$, e di $f_2(z) := 1/(sinh z)$, che ha in $0$ un polo del primo ordine, perciò $f$ ha una singolarità eliminabile (che è uno zero) in $z_0=0$.

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Note

1. Ciò significa che non esiste alcun aperto $Omega^\prime subseteq CC$ tale che $Omega subset Omega^\prime$ e che $ f$ sia olomorfa in $Omega^\prime$; in altri termini, $Omega$ è il più grande aperto in cui $f$ è definibile ed olomorfa. ↑

[gugo82]

- Legame tra Zeri e Singolarità Polari -

Supponiamo che $z_0$ sia uno zero isolato per $f: Omega -> CC$.
Per facilitare il discorso, supponiamo ulteriormente che $z_0$ sia l'unico zero di $f$ in $Omega$ (se così non fosse, basterebbe rimpiazzare l'aperto di olomorfia $Omega$ con un opportuno intorno circolare aperto di $z_0$).
Le ipotesi poste su $f$ e $z_0$ ci consentono di considerare la funzione reciproca $1/f$, la quale risulta definita ed olomorfa in $Omega^\prime := Omega \setminus \{ z_0\}$.
Il punto $z_0 in partial Omega^\prime = partial Omega uu \{ z_0\}$ è una singolarità isolata per $1/f$: il seguente teorema chiarisce di che tipo di singolarità si tratta:

Se $z_0$ è uno zero d'ordine $nu in NN \setminus \{0\}$ per $f$ in $Omega$, allora $z_0$ è un polo d'ordine $nu$ per $1/f$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dim.: Per definizione di ordine di uno zero, risulta $f(z) = l (z-z_0)^nu + "o"((z-z_0)^nu)$ con $l!=0$ per $z -> z_0$, dunque abbiamo:
\[
\lim_{z\to z_0} (z-z_0)^n \cdot \frac{1}{f(z)} = \lim_{z\to z_0} \frac{(z-z_0)^n}{l (z-z_0)^\nu + \text{o}((z-z_0)^\nu)} = \begin{cases} \infty &\text{, se } 0\leq n < \nu \\ 1/l \in \mathbb{C} \setminus \{0\} & \text{, se } n = \nu \\ 0 & \text{, se } n>\nu
\end{cases}
\]
che è quanto volevamo (cfr. Caratterizzazione delle Singolarità tramite Limiti del post precedente).

In maniera del tutto ovvia, inoltre, il teoremino si inverte:

Se $z_0$ è una singolarità polare d'ordine $nu in NN \setminus \{0\}$ per $1/f$, il punto $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ in $Omega$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dim.: Per definizione di polo d'ordine $nu$, risulta $1/f(z) = (c_{-nu})/(z-z_0)^nu + phi (z)$ con $phi(z) = "O"(1/(z-z_0)^nu)$ e $c_(-nu)!=0$ per $z -> z_0$, ossia $1/(f(z)) = (c_(-nu) + (z-z_0)^nu phi(z))/(z-z_0)^nu$ con $(z-z_0)^nu phi(z) = "O"(1)$ per $z->z_0$ (ciò vuol dire che $(z-z_0)^nu phi(z)$ è limitata intorno a $z_0$); da ciò segue:
\[
\lim_{z\to z_0} \frac{1}{(z-z_0)^n} \cdot f(z) = \lim_{z\to z_0} \frac{(z-z_0)^\nu}{(z-z_0)^n (c_{-\nu} + \text{O}(1))} = \begin{cases} 0 &\text{, se } 0\leq n < \nu \\ 1/c_{-\nu} \in \mathbf{C} \setminus \{ 0\} &\text{, se } n = \nu \\ \infty &\text{, se } n>\nu\end{cases}
\]
che è quanto volevamo (cfr. Caratterizzazione degli Zeri mediante Limiti nel post iniziale).

Banale è constatare che i teoremi precedenti valgono anche scambiando di posto le funzioni $f$ ed $1/f$; in altri termini risulta:

Se $z_0$ è uno zero d'ordine $nu in NN \setminus \{0\}$ per $1/f$ in $Omega^\prime$, allora $z_0$ è un polo d'ordine $nu$ per $f$.

Se $z_0$ è una singolarità polare d'ordine $nu in NN \setminus \{0\}$ per $f$, il punto $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $1/f$ in $Omega^\prime$.

e i quattro enunciati possono essere compendiati in un unica regola pratica:

La $f$ ha in $z_0$ uno zero isolato [risp. un polo] d'ordine $nu$ se e solo se $1/f$ ha in $z_0$ un polo [risp. uno zero isolato] d'ordine $nu$.

Quanto appena detto, unito alle regole citate nei post precedenti, implica il seguente risultato che consente di classificare velocemente le singolarità delle funzioni olomorfe che si presentano come rapporti che cadono negli zeri isolati del denominatore:

Teorema sulla Compensazione degli Ordini:
Siano $f_1,f_2:\Omega -> CC$ olomorfe e $z_0 in Omega$ uno zero isolato d'ordine $nu_2$ di $f_2$ in $Omega$.
La funzione $f_1/f_2$ (definibile ed olomorfa almeno in un intorno forato di $z_0$) ha in $z_0$:

1. una singolarità eliminabile che è uno zero d'ordine $nu_1-nu_2$ se $z_0$ è uno zero isolato d'ordine $nu_1 > nu_2$ per $f_1$ in $Omega$;
   
   
2. una singolarità eliminabile che non è uno zero se $z_0$ è uno zero d'ordine $nu_1=nu_2$ per $f_1$ in $Omega$;
   
   
3. un polo d'ordine $nu_2-nu_1$ se $z_0$ è uno zero d'ordine $1<= nu_1 <nu_2$ per $f_1$ in $Omega$;
   
   
4. un polo d'ordine $nu_2$ se $z_0$ non è uno zero di $f_1$.

I teoremi fin qui enunciati forniscono regole pratiche per determinare l'ordine di un polo/di uno zero che possono essere usate negli esercizi (assieme alle regole per la classificazione degli zeri/delle singolarità fornite nel post precedente) per facilitare lo svolgimento.
Osserviamo esplicitamente che il punto $z_0$ può essere sia al finito sia all'infinito.

Esempi:
Il lettore svolga i calcoli necessari a dimostrare quanto segue.

• La funzione $f(z):=1/(sin (z-mathbf(i)))$ ha in $z_k=mathbf(i) + kpi$ (con $k in ZZ$) poli d'ordine $1$;
  
  
• la funzione $f(z):=1/(e^z - 1 - z)$ ha in $z_0=0$ un polo d'ordine $2$;
  
  
• la funzione $f(z) := (cos z - 1)/(e^(-z^2) - 1)$ ha in $z_0 = 0$ una singolarità eliminabile;
  
  
• la funzione $f(z) := (z^2 - 1)/(z^n - 1)$ (con $n in NN$ ed $n >= 1$) ha in $z_0=1$:
  
  
  • una singolarità eliminabile se $n=1,2$;
    
  • un polo d'ordine $n-1$ se $n>=3$;
  se $n>=2$, la funzione $f(z)$ in ogni punto del tipo $z_k = e^(kpi/n mathbf(i))$ (con $k=1,2,...n-1$) ha:
  
  
  • una singolarità eliminabile se $n$ è pari e $k=n/2$;
    
  • un polo semplice se $n>=3$ ed o $n$ è dispari oppure $n$ è pari e $k!= n/2$;
  invece $f(z)$ in $oo$ ha:
  
  
  • un polo d'ordine $1$ se $n=1$;
    
  • una singolarità eliminabile che non è uno zero se $n=2$;
    
  • una singolarità eliminabile che è uno zero d'ordine $n-2$ se $n>=3$.
  
  
• la funzione $f(z) = (1 - cos (z-pi))/(sin^4 (z^2-pi^2))$ ha in $z_0=pi$ ed in $z_1=-pi$ singolarità polari d'ordine $2$.