sviluppo in serie di Laurent $f(z)= (z+1)/((z-1)(z+2))$

[livrea]

ciao ragazzi devo svolgere il seguente esercizio:
Data la funzione: $f(z)= (z+1)/((z-1)(z+2))$ determinare il suo sviluppo in serie di Laurent in $0<|z|<1$ e in $1<|z|<2$.
non avendo il risultato volevo sapere se il ragionamento e i calcoli sono corretti.

scrivo $f(z)$ in fratti semplici
$f(z)= A/(z-1)+ B/(z+2)$
$A=lim_(z->1)(z-1)*(z+1)/((z-1)(z+2))= 2/3$
$B=lim_(z->-2)(z+2)*(z+1)/((z-1)(z+2))=1/3$

procedo con lo sviluppo in serie nell' invervallo $0<|z|<1$
$1/(z-1)=-1/(1-z)=-sum_{n=0}^\infty\z^n => -Asum_{n=0}^\infty\z^n = -2/3sum_{n=0}^\infty\z^n$
$1/(z+2)=1/(2(1+z/2))=1/2*1/(1-(-z/2))=1/2sum_{n=0}^\infty\(-1)^n(z/2)^n=sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^n/2^(n+1)=>$ $=>Bsum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^n/2^(n+1)= 1/3*sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^n/2^(n+1)$
quindi in definitivita in $0<|z|<1$
$f(z)=-2/3sum_{n=0}^\infty\z^n+1/3*sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^n/2^(n+1)$

E' esatto???
ps: l'altro intervallo non l'ho scritto ma il ragionamento è uguale

[Luca.Lussardi]

Si, tieni conto comunque che l'altro caso sarà ben diverso come risultato, anche se il ragionamento è lo stesso: qui infatti hai ottenuto uno sviluppo di Taylor di fatto, cosa che non potrai ottenere nell'altra corona dal momento che $z=1$ è una singolarità dentro tale corona.

[livrea]

in $1<|z|<2$ mi viene così:
$1/(z-1)=1/(z(1-1/z))=1/z*1/(1-1/z)=1/z*sum_{n=0}^\infty\1/z^n= sum_{n=0}^\infty\1/(z^(n+1)) =>$
$=> A*sum_{n=0}^\infty\1/(z^(n+1))= 2/3*sum_{n=0}^\infty\1/(z^(n+1)) $

$1/(z+2)=1/(2(1+z/2))=1/2*1/(1-(-z/2))=1/2sum_{n=0}^\infty\(-1)^n(z/2)^n=sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^n/2^(n+1)=>$ $=>Bsum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^n/2^(n+1)= 1/3*sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^n/2^(n+1)$

quindi
$f(z)= 2/3*sum_{n=0}^\infty\1/(z^(n+1)) +1/3*sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^n/2^(n+1)$