1. Discutere le proprietà di analiticità al finito e all’infinito della funzione
$f(z) =(z^2-1)/(z^n-1)$ al variare del parametro intero $n >0$.
2. Calcolare i residui di $f(z)$in ogni singolarità isolata, sia al finito sia all’infinito.
3. Fissato $n= 3$, verificare che la somma di tutti i residui è nulla.
4. Scrivere i primi due termini dello sviluppo in serie di Laurent di $f(z)$ nell’intorno di ogni singolarità isolata, specificandone la regione di convergenza
Sol:
Riporto la mia soluzione anche se frammentata e probabilmente sbagliata in diverse parti, ma è il meglio che sono riuscito ad attuare.
1.
Ho notato confrontando gli zeri a numeratore e denominatore che:
- per n=1 f(z) ha una singolarità eliminabile
- per n=2 ne ha due eliminabili
- per n>2 si hanno n-1 poli semplici
2.
a)Al finito
Ho pensato di trovare la soluzione a $z^n=1$, cioè
$\rho=1, \theta=(2kpi)/n$ con $\rhoe^(i n\theta)$
Cioé per i primi k, con $0<=k<=n-1$
$K=0, \theta=0$
$K=1, \theta=(2pi)/n$
$K=2, \theta=(4pi)/n$
$K=3, \theta=(6pi)/n$
E il residuo sarà $\sum_(k=0)^(n-1)lim_(z->z_k)(z^2-1)/(z^n-1)(z-z_k)=(z_k^2-1)/(nz_k^(n-1))$ (ho usato de l'hopital)
Basta questo risultato? Non saprei come andare oltre.
b) All'infinito
apporto la sostituzione e lo jacobiano: $-1/t^2f(1/t)=(1-t^2)/(1-t^n)t^(n-4)$ e si calcola il residuo in t=0.
e qui mi pare possa avere residuo solo se n<4, al variare di n saranno poli semplici, doppi ecc ecc.
3.
$f_3(z) =(z^2-1)/(z^3-1)=((z+1)(z-1))/((z-1)(z-e^(2/3pi))(z-e^(4/3pi))$$=(z+1)/((z-e^(2/3pi))(z-e^(4/3pi)))$
Nell'ultimo passaggio ho "semplificato" (z-1) poichécome dicevo ho n-1 poli dato che è eliminabile la singolarità z=1
A questo punto calcolo il residuo come:
$lim_(z->e^(2/3pi)) (f(z))*(z-e^(2/3pi))$
e l'altro limite per il residuo:
$lim_(z->e^(4/3pi)) (f(z))*(z-e^(4/3pi))$
Sommandoli non viene zero, probabilmente ho sbagliato qualche calcolo (spero solo quello)
4.
Ecco, per questo non ho la più pallida idea di come fare
Mi rendo conto sia un esercizio molto lungo, spero tuttavia qualcuno abbia voglia di cimentarsi. Nel qual caso lo ringrazio molto, perché ci sto "ammattendo" sopra.
