A meno di errori, mi risulta $F(s)=(f(0))/s+(f^'(0))/s^2+(2f^('')(0))/(s^2(2s-1))+e^(-s)/(s^3(2s-1))$
Non credo che il problema siano i primi tre termini a destra. Il terzo si scompone e si possono accorpare due delle frazioni con le precedenti e, alla fine dei conti, invertire tre tipi distinti di funzioni che daranno un risultato del tipo $c_1+c_2t+c_3e^(t/2)$.
Mi pare di capire che sia il quarto termine a crearti problemi è così?
$e^(-s)/(s^3(2s-1))=(4e^(-s))/(s-1/2)-(4e^(-s))/s-(2e^(-s))/s^2-(e^(-s))/s^3$
Chiamando la funzione generica a gradini $G_c(t)=h(t-c)$, l'inversione è del tipo $e^(-cs)*L{f(t+c)} hArr G_c(t)f(t)$
Nel nostro caso $c=1$:
$-4*e^(-s)*1/s=-4G_1(t)$ e questa la sapevi perchè f(t)=1
$4*e^(-s)*1/(s-1/2)=4G_1(t)e^((t-1)/2)$
$-2*e^(-s)*1/s^2=-2G_1(t)*(t-1)$
e infine:
$-(1/2)*e^(-s)*2/s^3=-(1/2)G_1(t)(t-1)^2$
...ovvero dove avresti messo $t$ metti $t-1$