Integrale di Choquet per funzioni negative a valori discreti
Inviato: 15/04/2019, 01:31In un corso avanzato di probabilità abbiamo studiato le capacità, in particolare la lower probability.
In un esercizio mi viene chiesto di confrontare l'inviluppo inferiore dei valori attesi di una variabile aleatoria, al variare delle assegnazioni di probabilità coerenti, con l'integrale di choquet della suddetta variabile aleatoria rispetto alla lower probability.
Tuttavia il problema è che la mia variabile aleatoria è discreta ma a valori negativi, mentre le uniche definizioni di integrale di choquet che ho reperito sono o per funzioni reali, oppure per funzioni non negative a valori discreti, e sono le seguenti:
1)Funzione a valori non negativi:
$X=\{x_1,...,x_N\},\ f:X\to\mathbb{R}^+,\ f_{\sigma(i)}:=f(x_i), \mu$ una capacità; scelta una permutazione $\sigma$ di $X$ tale che $f_{\sigma(1)}\leq f_{\sigma(2)}\leq ... \leq f_{\sigma(N)}$, definito $A_{\sigma(i)}:=\{x_{\sigma(i)},...,x_{\sigma(N)}\} \forall i$, allora
$(C)\int_X f\d\mu:=\sum_{k=1}^N (f_{\sigma(i)}-f_{\sigma(i-1)})\mu(A_{\sigma(i)}),$ con la convenzione che $f_{\sigma(0)}:=0$.
2) Funzione di variabile reale:
$S \ $ un insieme, $f:S\to\mathbb{R}, \ $, $\ \mu$ una capacità, allora
$(C)\int_S f\d\mu:=\int_{-\infty}^0[ \mu( {s|f(s)\geq x})-\mu(S)]\, dx-\int_0^{\infty}\mu( {s|f(s)\geq x})\, dx$.
Quindi io ho adattato le due definizioni al mio caso:
$(C)\int_X f\d\mu:=\sum_{k=1}^N [f_{\sigma(i)}-f_{\sigma(i-1)}][\mu(A_{\sigma(i)})-\mu(X)],$ con la convenzione che $f_{\sigma(0)}:=0$.
Tuttavia tornando all'esercizio, con la definizione sopra riportata si ottengono due valori diversi, mentre nel caso in cui nella formula non avessi $-\mu(X)$, si ottengono due risultati uguali, cosa molto singolare e che quindi mi fa dubitare dell'esattezza della formula.
Qualcuno ha mai avuto a che fare con queste cose?
In un esercizio mi viene chiesto di confrontare l'inviluppo inferiore dei valori attesi di una variabile aleatoria, al variare delle assegnazioni di probabilità coerenti, con l'integrale di choquet della suddetta variabile aleatoria rispetto alla lower probability.
Tuttavia il problema è che la mia variabile aleatoria è discreta ma a valori negativi, mentre le uniche definizioni di integrale di choquet che ho reperito sono o per funzioni reali, oppure per funzioni non negative a valori discreti, e sono le seguenti:
1)Funzione a valori non negativi:
$X=\{x_1,...,x_N\},\ f:X\to\mathbb{R}^+,\ f_{\sigma(i)}:=f(x_i), \mu$ una capacità; scelta una permutazione $\sigma$ di $X$ tale che $f_{\sigma(1)}\leq f_{\sigma(2)}\leq ... \leq f_{\sigma(N)}$, definito $A_{\sigma(i)}:=\{x_{\sigma(i)},...,x_{\sigma(N)}\} \forall i$, allora
$(C)\int_X f\d\mu:=\sum_{k=1}^N (f_{\sigma(i)}-f_{\sigma(i-1)})\mu(A_{\sigma(i)}),$ con la convenzione che $f_{\sigma(0)}:=0$.
2) Funzione di variabile reale:
$S \ $ un insieme, $f:S\to\mathbb{R}, \ $, $\ \mu$ una capacità, allora
$(C)\int_S f\d\mu:=\int_{-\infty}^0[ \mu( {s|f(s)\geq x})-\mu(S)]\, dx-\int_0^{\infty}\mu( {s|f(s)\geq x})\, dx$.
Quindi io ho adattato le due definizioni al mio caso:
$(C)\int_X f\d\mu:=\sum_{k=1}^N [f_{\sigma(i)}-f_{\sigma(i-1)}][\mu(A_{\sigma(i)})-\mu(X)],$ con la convenzione che $f_{\sigma(0)}:=0$.
Tuttavia tornando all'esercizio, con la definizione sopra riportata si ottengono due valori diversi, mentre nel caso in cui nella formula non avessi $-\mu(X)$, si ottengono due risultati uguali, cosa molto singolare e che quindi mi fa dubitare dell'esattezza della formula.
Qualcuno ha mai avuto a che fare con queste cose?