convergenza dominata

[anto_zoolander]

Ciao!

devo dimostrare questo fatto.

supponiamo di avere uno spazio $(X,Sigma,mu)$ una successione di funzioni $f_n:X->RR$ misurabili che converge puntualmente a $f:X->RR$ e supponiamo che esista $g in L^1(X,mu)$ tale che $|f_n|leqg$ allora

$lim_(n->+infty)int_X|f-f_n|dmu=0$

dimostrazione

suppongo che $g<+infty$ per adesso

essendo $|f_n|leqg$ allora $int_Xabs(f_n)dmuleqint_Xgdmu<+infty => f_n in L^1(X,mu)$ per tutti gli $n in NN$
lo stesso vale per $f$.

Si può considerare che $abs(f_n-f)leq2g$ si può usare Fatou inverso

Si ha $overline(lim)int_Xabs(f_n-f)dmuleqintoverline(lim)abs(f_n-f)dmu=0$

la parte di cui mi interessa la correttezza è la seguente

per concludere si può usare che $int_Xabs(f_n-f)dmuleqs u p_(kgeqn)int_X abs(f_k-f)dmu$ per ogni $kgeqn$ e per ogni $n in NN$ dunque

$lim_(n->+infty)int_Xabs(f_n-f)dmuleqoverline(lim)int_Xabs(f_n-f)dmuleqint_Xoverline(lim)abs(f_n-f)dmu=0$

[Bremen000]

Ciao anto,
dopo che hai scritto questo

Si ha $ overline(lim)int_Xabs(f_n-f)dmuleqintoverline(lim)abs(f_n-f)dmu=0 $

hai finito perché

\[ 0 \le \overline{\lim} \int_X |f_n -f| \text{d} \mu \le 0 \Rightarrow \overline{\lim} \int_X |f_n-f| \text{d} \mu =0 \]

e

\[ 0 \le \underline{\lim} \int_X |f_n-f| \text{d} \mu \le \overline{\lim} \int_X |f_n-f| \text{d} \mu =0 \Rightarrow \underline{\lim} \int_X |f_n-f| \text{d} \mu =0 \]

dunque

\[ \underline{\lim} \int_X |f_n-f| \text{d} \mu = \overline{\lim} \int_X |f_n-f| \text{d} \mu =0 \Rightarrow \lim \int_X |f_n-f| \text{d} \mu =0 \]

Ho messo un esercizio carino su queste cose in questa stanza, dacci un'occhiata se hai voglia!

[anto_zoolander]

Ciao brem!
In effetti è più immediato così

Io ho considerato solo massimo limite che poi tendendo a zero mi forza tutto il resto