devo dimostrare questo fatto.
supponiamo di avere uno spazio $(X,Sigma,mu)$ una successione di funzioni $f_n:X->RR$ misurabili che converge puntualmente a $f:X->RR$ e supponiamo che esista $g in L^1(X,mu)$ tale che $|f_n|leqg$ allora
$lim_(n->+infty)int_X|f-f_n|dmu=0$
dimostrazione
suppongo che $g<+infty$ per adesso
essendo $|f_n|leqg$ allora $int_Xabs(f_n)dmuleqint_Xgdmu<+infty => f_n in L^1(X,mu)$ per tutti gli $n in NN$
lo stesso vale per $f$.
Si può considerare che $abs(f_n-f)leq2g$ si può usare Fatou inverso
Si ha $overline(lim)int_Xabs(f_n-f)dmuleqintoverline(lim)abs(f_n-f)dmu=0$
la parte di cui mi interessa la correttezza è la seguente
per concludere si può usare che $int_Xabs(f_n-f)dmuleqs u p_(kgeqn)int_X abs(f_k-f)dmu$ per ogni $kgeqn$ e per ogni $n in NN$ dunque
$lim_(n->+infty)int_Xabs(f_n-f)dmuleqoverline(lim)int_Xabs(f_n-f)dmuleqint_Xoverline(lim)abs(f_n-f)dmu=0$