Scusate, ieri ho postato questo esercizio ma ho sbagliato alcune cose nel testo e allora l’ho riscritto e ripostato.
Ciao! Chi mi può dare due dritte con questo esercizio?
Indichiamo con $M$ la $σ$-algebra di Borel su $\mathbb{R}$ rispetto alla topologia cofinita (ossia alla topologia su $\mathbb{R}$ i cui elementi diversi dall’insieme vuoto sono tutti e soli i sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ aventi complementare finito). Sia inoltre $f : \mathbb{R} → [0, +∞ [$ la funzione definita da:
\( f(x) =\begin{cases} 0 \ \text{ se } x\notin\mathbb{N} \\ x \ \text{ se } x\in\mathbb{N} \end{cases} \)
Trovare una misura positiva $\mu$ su $M$ che verifichi le due seguenti condizioni:
$\int f d\mu = 1$ e $\mu(E) > 0$ per ogni $E\in M$ tale che $E\cap\mathbb{N}\ne\emptyset$