obnoxious ha scritto:[...] Non credo sia necessario, quando integriamo su \( \{ |f_n -f | < \delta \} \cap f_n ^{-1} ([-K,K]) \), se assumiamo che \( \delta < 1 \), si ha che \( |f| \le K+1 \) ivi. [...]
hai perfettamente ragione!
obnoxious ha scritto:[...]
Secondo me si'. Ho usato Chebyshev in due punti, e nel caso generale bisogna utilizzare
Chebyshev piu' generale; quando \( c_1 \ne 0 \), bisogna premurarsi che ogni volta che si usa la proprietà di \( \phi \), lo si faccia su insiemi "piccoli", che è quello che faccio. Infine \( |a-b| \le |a| + |b| \) verrebbe rimpiazzata con una disuguaglianza di tipo Clarckson, i.e. \[ |a \pm b|^p \le 2^{p-1} ( |a|^p + |b|^p). \]
Si credo che con questi aggiustamenti funzioni senza problemi.
Come l'avevo pensato io:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Nel seguito indico con $\mu$ la misura di Lebesgue su $\mathbb{R}$. Procediamo in questa maniera: mostriamo che da ogni sottosuccessione di \( \{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) si può estrarre una sotto-sotto-successione che converge in \( L^{p_2}((0,1)) \) a $\phi(f)$.
Estraiamo quindi una qualsiasi sottosuccessione di \( \{f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) , allora ne esiste una sotto-sotto-successione, che chiamiamo ancora \( \{f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \), tale che
\[ f_n(x) \to f(x) \quad \quad \text{ per q.o. } x \in (0,1) \]
Naturalmente, siccome $\phi$ è continua, vale anche
\[ \phi(f_n(x)) \to \phi(f(x)) \quad \quad \text{ per q.o. } x \in (0,1) \]
Fissiamo $\epsilon >0$.
1. Esiste un $N_1=N_1(\epsilon)$ tale che, se $n \ge N_1$, allora
\[ \int_{A} |f_n|^{p_1} \text{d} \mu \le \int_{A} |f|^{p_1} \text{d} \mu + \epsilon \]
per ogni $A \subseteq (0,1)$ misurabile. Notare che $N_1$ non dipende da $A$.
2. Sia $\{ A_{k} \}$ una successione decrescente di sottoinsiemi misurabili di $(0,1)$ e chiamiamo $A$ la loro intersezione numerabile. Supponiamo che sia $\mu(A)=0$, allora
\[ \lim_{k \to + \infty} \int_{A_k} |f|^{p_1} \text{d} \mu =0 \]
3. Per il teorema di Severini-Egorof, per ogni $k \in \mathbb{N}$, esiste un $A_k \subseteq (0,1)$ misurabile tale che $\mu(A_k) < \frac{\epsilon}{k}$ e al di fuori di esso $\phi(f_n) \to \phi(f)$ uniformemente quasi ovunque. Notiamo che la successione $\{A_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ può essere scelta decrescente. Allora, per ogni $n \ge N_1$ e per ogni $k \in \mathbb{N}$ vale
\begin{align*}
\|\phi(f_n)-\phi(f) \|_{p_2}^{p_2} & = \int_{0}^1 \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2}\text{d}\mu \\
& = \int_{(0,1) \setminus A_k} \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2} \text{d} \mu + \int_{A_k} \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2} \text{d}\mu \\
& \le \int_{(0,1) \setminus A_k} \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2} \text{d} \mu + C_1 \int_{A_k} \phi(f_n)^{p_2} \text{d} \mu + C_1\int_{A_k} \phi(f)^{p_2} \text{d} \mu \\
& \le \int_{(0,1) \setminus A_k} \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2} \text{d} \mu + C_2 \mu(A_k) + C_2 \int_{A_k} |f_n|^{p_1} \text{d} \mu + C_2 \int_{A_k} |f_n|^{p_1} \text{d} \mu \\
& \le \int_{(0,1) \setminus A_k} \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2} \text{d} \mu + 2C_2 \epsilon + 2C_2 \int_{A_k} |f|^{p_1} \text{d} \mu
\end{align*}
per opportune costanti positive $C_1, C_2$. Dal punto 2. possiamo trovare un $K_1=K_1(\epsilon)$ tale che, se $k \ge K_1$, si abbia
\[ \int_{A_k} |f|^{p_1} \text{d} \mu < \epsilon \]
quindi, per ogni $n \ge N_1$, vale
\[ \|\phi(f_n)-\phi(f) \|_{p_2}^{p_2} \le \int_{(0,1) \setminus A_{K_1}} \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2} \text{d} \mu + 4C_2 \epsilon \]
Ora, per convergenza uniforme su $(0,1) \setminus A_{K_1}$, esiste un $N_2 = N_2(K_1, \epsilon)$ tale che, se $n \ge N_2$ si ha
\[ \biggl |\phi(f_n)(x) -\phi(f)(x)|^{p_2} \biggr | \le \epsilon^{1/p_2} \]
per ogni $x \in (0,1) \setminus A_{K_1}$. Quindi, per ogni $n \ge N_{\epsilon} := \max \{ N_1, N_2 \}$, si ha
\[ \|\phi(f_n)-\phi(f) \|_{p_2}^{p_2} \le (1+4C_2) \epsilon \]
In ogni caso, sono contento che finalmente qualcuno abbia preso in considerazione uno degli esercizietti che metto!
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)