[EX - TdM] Convergenza in $L^p$

[Bremen000]

Esercizio:
Siano $p_1, p_2 \in [1, \infty)$ e sia $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione continua tale che
\[ |\phi(s)| \le c_1+ c_2|s|^{p_1/p_2} \quad \text{ per ogni } s \in \mathbb{R} \]
Si dimostri che se $f_n \to f$ in \( L^{p_1}((0,1)) \) allora $\phi(f_n) \to \phi(f)$ in \( L^{p_2}((0,1)) \).

[obnoxious]

Bell'esercizio! Fornisco una soluzione al caso \( c_1 = 0\) e \( p_1 = p_2 = 1 \). Penso che il caso generale segua facilmente usando idee simili.

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Per ogni \( \delta \) fissato, si ha che (disuguaglianza di Chebyshev) \[ \mathcal{L}( \{ x \in (0,1) \, : \, |f_n - f| (x) \ge \delta \}) \le \frac{1}{\delta} \|f_n -f\| _{L^1 (0,1)} \quad (*). \] Poi, fissato un \( \epsilon > 0 \), esiste un \( \delta \) tale che \( 0 < |x-y| < \delta \) implica \( |\phi (x) - \phi(y) | < \epsilon \)¹; ora \[ \begin{split} \int_{(0,1)} |\phi(f_n) - \phi(f)| \, d \mathcal{L} & = \int_{|f_n - f|\ge \delta } |\phi(f_n) - \phi(f)| \, d \mathcal{L} + \int_{|f_n - f|< \delta } |\phi(f_n) - \phi(f)| \, d \mathcal{L} \\ & \le \int_{|f_n - f|\ge \delta } |\phi(f_n) - \phi(f)| \, d \mathcal{L} + \epsilon \quad \forall \, n. \end{split} \]Del resto \[ \begin{split} \int_{|f_n - f|\ge \delta } |\phi(f_n) - \phi(f)| \, d \mathcal{L} \le \int_{|f_n - f|\ge \delta } |\phi(f_n)| + |\phi(f)| \, d \mathcal{L} & \le c_2 \int_{|f_n - f|\ge \delta } |f_n| + |f| \, d \mathcal{L} \\ & \le c_2 \left[ \int_{|f_n - f|\ge \delta } |f_n - f| \, d \mathcal{L} + 2 \int_{|f_n - f|\ge \delta } |f| \, d \mathcal{L} \right] \end{split} \]dove gli ultimi due possono essere resi arbitrariamente piccoli - il primo perché \( f_n \to f \) in \( L^1\), il secondo per l'assoluta continuità dell'integrale di Lebesgue (ricordando \((*)\)).

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Note

1. Questo è vero se si assume \( \phi \) uniformemente continua; la "sublinearità" viene gratuitamente. ↑

[Bremen000]

Ciao! Mi piace la tua risoluzione, c'è solo una cosa che non mi torna:

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Quando scrivi

[...] fissato un \( \epsilon > 0 \), esiste un \( \delta \) tale che \( 0 < |x-y| < \delta \) implica \( |\phi (x) - \phi(y) | < \epsilon \) [...]

stai usando che $\phi$ è uniformemente continua, o sbaglio?

[obnoxious]

Ciao! Mi piace la tua risoluzione, c'è solo una cosa che non mi torna:

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Quando scrivi

[...] fissato un \( \epsilon > 0 \), esiste un \( \delta \) tale che \( 0 < |x-y| < \delta \) implica \( |\phi (x) - \phi(y) | < \epsilon \) [...]

stai usando che $\phi$ è uniformemente continua, o sbaglio?

Ciao, hai ragione, quel passaggio va corretto. Stavo pensando ad un problema "parallelo", quello in cui \( \phi \) è uniformemente continua (e la sublinearità viene gratuitamente). Penso si possa fare cosi':

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\[ \begin{split} \int_{ \{|f_n -f | < \delta \} } |\phi(f_n) - \phi (f) | \, d \mathcal{L} & = \int_{ \{ |f_n -f | < \delta \} \cap f_n ^{-1}([-K,K]) } |\phi(f_n) - \phi (f) | \, d \mathcal{L} \\ & + \int_{ \{ |f_n -f | < \delta \} \cap f_n ^{-1}([-K,K])^c } |\phi(f_n) - \phi (f) | \, d \mathcal{L}. \end{split} \]Adesso nel primo integrale si può usare l'uniforme continuità di \( \phi\); nel secondo invece il dominio di integrazione è "piccolo": di nuovo Chebyshev + \( \|f_n\|_{L^1} \to \|f\|_{L^1} \) ci dicono che \[ \mathcal{L} ( \{ x \in (0,1) \, : \, |f_n (x)| \ge K \}) \le \frac{C}{K} \|f\|_{L^1 ((0,1))}\quad \forall \, n, \text{ e per una certa costante } C > 0 \] da cui \[ \begin{split} \int_{ \{ |f_n -f | < \delta \} \cap f_n ^{-1}([-K,K])^c } |\phi(f_n) - \phi (f) | \, d \mathcal{L} & \le c_2 \int_{ \{ |f_n -f | < \delta \} \cap f_n ^{-1}([-K,K])^c } |f_n | + |f | \, d \mathcal{L} \\ & \le c_2 \int_{ \{ |f_n -f | < \delta \} \cap f_n ^{-1}([-K,K])^c } (|f| + \delta) + |f | \, d \mathcal{L} \\ & \le \frac{c_2 C}{K} \|f\|_{L^1((0,1))} + \epsilon' \quad \forall \, \delta < 1.\end{split} \]

Bisogna sistemare un po' i dettagli (in particolare bisogna fare attenzione all'ordine delle operazioni: si fissa \(\epsilon > 0 \), poi si prende \( K \) grande abbastanza da avere \( c_2 C \|f\|_{L^1((0,1))} / K \le \epsilon \) e \( \int_{f_n ^{-1}([-K,K])^c} |f| \, d \mathcal{L} \le \epsilon \). Il \( K \) "determina" quindi il \( \delta \), e cosi' ci si sbarazza della parte della continuità uniforme. Si conclude facendo tendere \( n \to \infty\)) ma credo funzioni.

[Bremen000]

Ciao, così mi pare funzionare già meglio, anche se

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qua

[...] Adesso nel primo integrale si può usare l'uniforme continuità di \( \phi \); [...]

credo tu debba assumere che sia $x$ sia tale che sia $f_n(x)$ e $f(x)$ appartengano allo stesso compatto.

Non ho controllato tutti i dettagli ma penso, se la mia osservazione fosse corretta, che si possa adattare quello che hai scritto implementandola e tutto dovrebbe funzionare.

Non ho controllato al 100% i dettagli però. Mi domando se si estenda tutto senza problemi al caso $p_1, p_2 \ne 1$ anche perché Chebyshev potrebbe dare qualche problema.

Magari poi metto quello che ho pensato io, ma voglio lasciare ancora un po' di tempo per eventuali altri interventi.

In ogni caso, complimenti per la tua, seppur parziale, risoluzione!

[obnoxious]

Ciao, così mi pare funzionare già meglio, anche se

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qua

[...] Adesso nel primo integrale si può usare l'uniforme continuità di \( \phi \); [...]

credo tu debba assumere che sia $x$ sia tale che sia $f_n(x)$ e $f(x)$ appartengano allo stesso compatto.

[...]

Non credo sia necessario, quando integriamo su \( \{ |f_n -f | < \delta \} \cap f_n ^{-1} ([-K,K]) \), se assumiamo che \( \delta < 1 \), si ha che \( |f| \le K+1\) ivi. Vero che quell'insieme puo' essere vuoto, ma non ci interessa; in tal caso infatti l'integrale è zero, e la stima del secondo integrale continua a valere (uniformemente in \(n \)).

[...] Mi domando se si estenda tutto senza problemi al caso $p_1, p_2 \ne 1$ anche perché Chebyshev potrebbe dare qualche problema. [...]

Secondo me si'. Ho usato Chebyshev in due punti, e nel caso generale bisogna utilizzare Chebyshev piu' generale; quando \( c_1 \ne 0 \), bisogna premurarsi che ogni volta che si usa la proprietà di \( \phi \), lo si faccia su insiemi "piccoli", che è quello che faccio. Infine \( |a-b| \le |a| + |b| \) verrebbe rimpiazzata con una disuguaglianza di tipo Clarckson, i.e. \[ |a \pm b|^p \le 2^{p-1} ( |a|^p + |b|^p).\]

[Bremen000]

[...] Non credo sia necessario, quando integriamo su \( \{ |f_n -f | < \delta \} \cap f_n ^{-1} ([-K,K]) \), se assumiamo che \( \delta < 1 \), si ha che \( |f| \le K+1 \) ivi. [...]

hai perfettamente ragione!

[...]
Secondo me si'. Ho usato Chebyshev in due punti, e nel caso generale bisogna utilizzare Chebyshev piu' generale; quando \( c_1 \ne 0 \), bisogna premurarsi che ogni volta che si usa la proprietà di \( \phi \), lo si faccia su insiemi "piccoli", che è quello che faccio. Infine \( |a-b| \le |a| + |b| \) verrebbe rimpiazzata con una disuguaglianza di tipo Clarckson, i.e. \[ |a \pm b|^p \le 2^{p-1} ( |a|^p + |b|^p). \]

Si credo che con questi aggiustamenti funzioni senza problemi.

Come l'avevo pensato io:

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Nel seguito indico con $\mu$ la misura di Lebesgue su $\mathbb{R}$. Procediamo in questa maniera: mostriamo che da ogni sottosuccessione di \( \{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) si può estrarre una sotto-sotto-successione che converge in \( L^{p_2}((0,1)) \) a $\phi(f)$.
Estraiamo quindi una qualsiasi sottosuccessione di \( \{f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) , allora ne esiste una sotto-sotto-successione, che chiamiamo ancora \( \{f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \), tale che
\[ f_n(x) \to f(x) \quad \quad \text{ per q.o. } x \in (0,1) \]
Naturalmente, siccome $\phi$ è continua, vale anche
\[ \phi(f_n(x)) \to \phi(f(x)) \quad \quad \text{ per q.o. } x \in (0,1) \]
Fissiamo $\epsilon >0$.

1. Esiste un $N_1=N_1(\epsilon)$ tale che, se $n \ge N_1$, allora
\[ \int_{A} |f_n|^{p_1} \text{d} \mu \le \int_{A} |f|^{p_1} \text{d} \mu + \epsilon \]
per ogni $A \subseteq (0,1)$ misurabile. Notare che $N_1$ non dipende da $A$.

2. Sia $\{ A_{k} \}$ una successione decrescente di sottoinsiemi misurabili di $(0,1)$ e chiamiamo $A$ la loro intersezione numerabile. Supponiamo che sia $\mu(A)=0$, allora
\[ \lim_{k \to + \infty} \int_{A_k} |f|^{p_1} \text{d} \mu =0 \]

3. Per il teorema di Severini-Egorof, per ogni $k \in \mathbb{N}$, esiste un $A_k \subseteq (0,1)$ misurabile tale che $\mu(A_k) < \frac{\epsilon}{k}$ e al di fuori di esso $\phi(f_n) \to \phi(f)$ uniformemente quasi ovunque. Notiamo che la successione $\{A_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ può essere scelta decrescente. Allora, per ogni $n \ge N_1$ e per ogni $k \in \mathbb{N}$ vale
\begin{align*}
\|\phi(f_n)-\phi(f) \|_{p_2}^{p_2} & = \int_{0}^1 \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2}\text{d}\mu \\
& = \int_{(0,1) \setminus A_k} \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2} \text{d} \mu + \int_{A_k} \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2} \text{d}\mu \\
& \le \int_{(0,1) \setminus A_k} \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2} \text{d} \mu + C_1 \int_{A_k} \phi(f_n)^{p_2} \text{d} \mu + C_1\int_{A_k} \phi(f)^{p_2} \text{d} \mu \\
& \le \int_{(0,1) \setminus A_k} \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2} \text{d} \mu + C_2 \mu(A_k) + C_2 \int_{A_k} |f_n|^{p_1} \text{d} \mu + C_2 \int_{A_k} |f_n|^{p_1} \text{d} \mu \\
& \le \int_{(0,1) \setminus A_k} \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2} \text{d} \mu + 2C_2 \epsilon + 2C_2 \int_{A_k} |f|^{p_1} \text{d} \mu
\end{align*}
per opportune costanti positive $C_1, C_2$. Dal punto 2. possiamo trovare un $K_1=K_1(\epsilon)$ tale che, se $k \ge K_1$, si abbia
\[ \int_{A_k} |f|^{p_1} \text{d} \mu < \epsilon \]
quindi, per ogni $n \ge N_1$, vale
\[ \|\phi(f_n)-\phi(f) \|_{p_2}^{p_2} \le \int_{(0,1) \setminus A_{K_1}} \biggl ( \phi(f_n)-\phi(f) \biggr )^{p_2} \text{d} \mu + 4C_2 \epsilon \]
Ora, per convergenza uniforme su $(0,1) \setminus A_{K_1}$, esiste un $N_2 = N_2(K_1, \epsilon)$ tale che, se $n \ge N_2$ si ha
\[ \biggl |\phi(f_n)(x) -\phi(f)(x)|^{p_2} \biggr | \le \epsilon^{1/p_2} \]
per ogni $x \in (0,1) \setminus A_{K_1}$. Quindi, per ogni $n \ge N_{\epsilon} := \max \{ N_1, N_2 \}$, si ha
\[ \|\phi(f_n)-\phi(f) \|_{p_2}^{p_2} \le (1+4C_2) \epsilon \]

In ogni caso, sono contento che finalmente qualcuno abbia preso in considerazione uno degli esercizietti che metto!