domande da neofita su geometria differenziale

[dRic]

Ciao a tutti, sto leggendo un libro di meccanica in cui vi è un lungo excursus sulla geometria dello spazio. Ho parecchi dubbi perché il mio libro non è chiarissimo a riguardo, inoltre penso di avere qualche lacuna sui differenziali perché non ho inteso alcune affermazioni che di seguito riporto.

1) Da quello che ho capito (ma penso di aver capito male) la geometria differenziale si basa sul concetto di "elemento di linea" $\delta s$. Il libro che sto leggendo dice che $\delta s$ è un elemento infinitesimo e in sé non è integrabile perché se no non si riuscirebbe a determinare la minima distanza tra due punti (perché qualsiasi curva andrebbe bene). Tuttavia l'elemento $\delta s$ è espresso tramite il tensore metrico in funzione dei differenziali delle coordinate (per esempio in 3 dimensioni):
$$ \delta s = \sum^{3} g_{ij} dx_i dx_j$$
Ora mi chiedo come è che combinando dei differenziali (che sono integrabili) ottengo un $\delta s$ che non è integrabile?

2) Sempre parlando di differenziali, il mio libro dice che una relazione tra differenziali del tipo:
$$A_1 dx_i + ... + A_ndx_n = 0$$
non è integrabile, a meno che alcune condizioni non siano verificate (quali?). Tuttavia per $n = 2$ la relazione è sempre integrabile (perché?).

So che probabilmente ho molta confusione quindi ringrazio in anticipo chi voglia aiutarmi.

[dissonance]

È la geometria Riemanniana che si basa sull'elemento di linea; in linguaggio più moderno si dice "tensore metrico". Non mi piace molto scrivere \(\delta s\); io preferisco scrivere \(ds^2\) (oppure \(g\)). In questo modo, la formula della lunghezza di una curva si scrive
\[
L(\gamma)=\int_\gamma\, ds.\]
Se \(ds\) fosse integrabile, ovvero se
\[
ds=dF,\qquad \text{per una funzione }F\colon M\to \mathbb R, \]
allora, per la formula fondamentale del calcolo integrale, \(L(\gamma)=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))\), dove \(a\) e \(b\) sono gli estremi dell'intervallo di definizione di \(\gamma\). E questo non è possibile, chiaramente, perché la lunghezza di una curva non potrà mai dipendere solo dagli estremi.

Quanto alla tua domanda: è vero che i singoli differenziali \(dx_1, dx_2, \ldots, dx_n\) sono integrabili, ma qui stai prendendo dei prodotti; \(dx_1^2, dx_1dx_2, \ldots\) (Con la notazione moderna dovresti metterci un \(\otimes\): \(dx_1\otimes dx_1, dx_1\otimes dx_2, \ldots\)). Inoltre, l'elemento di linea non è \(ds^2\) ma \(ds\); quindi, devi anche prendere, formalmente, una radice quadrata. Insomma, l'integrabilità la perdi da tutte le parti.

Quanto alla domanda 2: hai mai studiato le forme differenziali lineari, in analisi? Se si, come credo, allora conosci perfettamente la risposta a questa domanda. Ricordati tutta quella roba con le forme differenziali chiuse sui domini semplicemente connessi...

[dRic]

Hai ragione, ho usato una notazione infelice. Anche il libro usa la tua. Già cambiandola ho capito molto e anche il punto 1 adesso è chiaro.

Per quanto riguarda il punto due mi dispiace deluderti. La mia conoscenza del differenziale è molto blanda ed intuitiva. Nel mio esame di analisi 1 non è stato trattato. E' stato brevemente introdotto in analisi 2 per generalizzare il concetto di derivata per funzioni a più variabili, ma non è stato spiegato molto. In particolare questo:

Ricordati tutta quella roba con le forme differenziali chiuse sui domini semplicemente connessi...

è la prima volta che lo stento

Consigli su quali libri studiare l'argomento ?

[dissonance]

Forse le farai, allora. Cosa studi?

[dRic]

Studio autonomamente questi argomenti. Per farti capire il mio livello (infimo) di competenze matematiche, questi sono gli esami che ho fatto durante la triennale e 1mo anno di magistrale in ingegneria:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

- analisi 1 e algebra lineare ( https://www11.ceda.polimi.it/schedainca ... 83cf57ff25 )
- analisi 2 ( https://www11.ceda.polimi.it/schedainca ... 580eb1c4d8 )
- metodi numerici ( https://www11.ceda.polimi.it/schedainca ... 8a89d819a7 )
- metodi di analisi matematica per l'ingegneria ( https://www11.ceda.polimi.it/schedainca ... fb5e1e861c )

Comunque continuando a leggere il libro ho notato questa cosa (non pretendo di dare una risposta formale alla mia domanda, ma averne per lo meno un feeling): data una relazione tra tre (per esempio) differenziali del tipo
$$dq_3 = B_1 dq_1 + B_2 dq_2$$
allora se esiste una relazione del tipo $q_3 = f(q_1, q_2)$ (la faccio esplicita per comodità devo ancora pensare a come venga se la relazione è implicita) allora deve essere:
$$B_1 = \frac {\partial f} {\partial q_1}$$
(e analogamente per $B_2$). Ma allora per il teorema sulle derivate seconde
$$\frac {\partial B_1} {\partial q_2} = \frac {\partial } {\partial q_2} \frac {\partial f} {\partial q_1} = \frac {\partial B_2} {\partial q_1}$$
Se questa relazione sussiste allora la relazione è integrabile. Se ho due sole variabili:
$$dq_2 = B d q_1$$
allora mi basta chiedere che $B_1$ sia integrabile. Ma una funzione $B_1$ non integrabile non mi pare abbia senso (almeno fisicamente parlando) e quindi concludo che se $n=2$ integrare sempre.
Cosa ne pensi ?

[dissonance]

Si, esatto, è quello il punto: il teorema sulle derivate seconde. Questa però è solo una condizione NECESSARIA; tu hai dimostrato che se un differenziale è integrabile allora deve soddisfare una certa relazione. E chi ha detto che la condizione è sufficiente? Bisogna dimostrarlo e questo si chiama "lemma di Poincaré". ATTENZIONE! Questa condizione non è più sufficiente se il dominio della forma differenziale non è semplicemente connesso, ovvero, intuitivamente, se presenta dei "buchi".

[dRic]

Ah perfetto! Grazie mille! Siccome il libro che sto leggendo è di fisica ci sta che i domini non semplicemente connessi non sono molto ricorrenti in fisica e quindi non ha voluto appesantire la trattazione.

PS: ma è "normale" che non lo sapessi o sono io che sono indietro, secondo te?

[dRic]

Intuitivamente il lemma di Poincarre' serve perché vorresti trovate un "potenziale" tale che le componenti del suo gradiente siano i coefficienti dei differenziali. E se il dominio è semplicemente connesso mi ricordo che un potenziale si trovava se il campo è irrotazionale. C'è un collegamento ?

[dissonance]

Si, è esattamente la stessa cosa. Qua la condizione di irrotazionalità è sostituita dalla condizione sulle derivate incrociate che hai trovato prima.

[dRic]

È vero. Grazie mille per le spiegazioni!