spero di scrivere nella sezione giusta (è la prima volta che posto in Analisi superiore).
Sto trovando alcune difficoltà nell'applicare il Teorema di Girsanov per la costruzione di misure martingala equivalenti. Spero possiate darmi una mano dato che il testo è assai lacunoso in merito: parte dalle definizioni per arrivare, ahimé, direttamente al risultato.
Io so che $ \Pi_0:=S_0QQ^S(S_T>=K)-KQQ^T(S_T>=K)P(0,T) $. Devo determinare il valore di queste due probabilità.
Inizio con la seconda (assumendo che il procedimento sia analogo anche per la prima).
Definisco un processo $ Z_t:=S_t/(P(t,T)) $ sotto la misura fisica $ mathbb(P) $ la cui dinamica è $ dZ_t:=Z_t[u_t^zdt+\sigma_t^zdW_t] $. Siccome il processo è definito sullo spazio filtrato $(\Omega, F, mathbb(P))$ mentre la probabilità che intendo calcolare è definita sotto $mathbb(Q)^T$, devo operare un cambio di misura. Applico allora il Teorema di Girsanov che mi consente di costruire (tramite derivata di Radon-Nikodym espressa in termini di martingala esponenziale: $ L(\omega):=(dmathbb(Q)^T)/(dmathbb(P))=M_trArr mathbb(E)^(mathbb(Q)^T)[X]=mathbb(E)^mathbb(P)[M_tX] $) una misura martingala $mathbb(Q)^T$ equivalente alla misura fisica in maniera tale che il processo $ tilde(W)_t $ sotto la nuova misura sia un Moto Browniano standard. Ora, dato $P(T,T):=1$ posso dire che:
$ mathbb(Q)^T(S_T>=K)=mathbb(Q)^T(S_T/1>=K)=mathbb(Q)^T(S_T/(P(T,T))>=K)=mathbb(Q)^T(Z_T>=K) $
Bene. Siccome $Z_T$ è $mathbb(P)$-definito, la costruzione della $mathbb(Q)^T$-martingala dovrà avvenire tramite martingala esponenziale, ovvero $mathbb(E)^(mathbb(Q)^T)[Z_T]=mathbb(E)^mathbb(P)[M_tZ_T] $. Allora, siccome la nuova martingala avrà (per definizione stessa di martingalità) una dinamica contenente solo parte diffusiva (cioè $dZ_t^(mathbb(Q)^T)=\sigma_t^zd tilde(W)_t$), dovrei riuscire tramite la formula di Ito applicata alla relazione
$ Z_T^(mathbb(Q)^T)=(Z_0exp {\int_(0)^(T)\sigma_s^zdW_s-1/2\int_(0)^(T)(\sigma_s^z)^2ds})^(mathbb(P)) $
(dove $Z_0$ dovrebbe essere il valore assunto da $Z_T^(mathbb(P))$ all'istante $0$ e il successivo esponenziale la definizione di martingala esponenziale)
a ricondurmi alla dinamica di cui sopra.Mi sembra che il ragionamento che ho fatto sia giusto, tuttavia non capisco perchè il testo:
1) definisce la dinamica del processo $dZ_t=Z_t\sigma_t^zd tilde(W)_t$. Perchè c'è anche quel $Z_t$? La dinamica di un processo martingala sotto $mathbb(P)$ non dovrebbe essere $dM_t=\sigmadW_t$?
2) pone all'integrale stocastico della martingala esponenziale $dW_s^(mathbb(Q)^T)$. La martingala esponenziale non dovrebbe essere definita sotto misura fisica? Dopotutto il mio obiettivo è calcolare $Z_T$ sotto $mathbb(Q)^T$, quindi per Girsanov il trasformatore $M_t$ dovrebbe essere definito sotto $mathbb(P)$...
Spero di essere stato sufficientemente chiaro! Grazie mille in anticipo per qualsiasi aiuto o intervento!
