[EX] Un insieme Boreliano

Messaggioda Bremen000 » 28/04/2019, 00:33

Esercizio
Sia $B$ lo spazio di Banach delle funzioni continue su $[0,1]$ dotato della norma del massimo. Si dimostri che l'insieme
\[ A:= \{ (f,t) \in B \times [0,1] \mid f \text{ è differenziabile in } t \} \]
è un sottoinsieme Boreliano di $B \times [0,1]$1.

Hint(s)
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1. Dimostrare che, per ogni $f \in B$, le mappe
\[ [0,1] \ni t \mapsto \liminf_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h} \quad \quad [0,1] \ni t \mapsto \limsup_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h} \]
sono Boreliane tra \( ([0,1], \mathcal{B}([0,1])) \) e \( (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \).

2. Dimostrare che, per ogni $t \in [0,1]$, le mappe
\[ B \ni f \mapsto \liminf_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h} \quad \quad B \ni f \mapsto \limsup_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h} \]
sono continue tra \( (B, \| \cdot \|_{\infty} ) \) e \( (\mathbb{R}, | \cdot | ) \).

3. Sia $(X, d_1)$ uno spazio metrico separabile, \( (Y, \mathcal{A} ) \) uno spazio misurabile e $(Z, d_2)$ uno spazio metrico. Sia
\[ g: X \times Y \to Z \]
una funzione tale che
a. Per ogni $x \in X$ si ha \( (Y, \mathcal{A} ) \ni y \mapsto (Z, \mathcal{B}(Z)) \) è misurabile;
b. Per ogni $y \in Y$ si ha \( (X, d_1) \ni x \mapsto (Z, d_2) \) è continua;
Dimostrare che allora $g$ è \( (X \times Y, \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{A} )-(Z, \mathcal{B}(Z)) \) misurabile.

4. Porre $g: B \times [0,1] \to \mathbb{R}$ tale che
\[ g(f,t) = \biggl ( f, \limsup_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h} - \liminf_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h} \biggr ) \quad \text{ per ogni } (f,t) \in B \times [0,1] \]
Osservare che, dai punti 1., 2. e 3., $g$ è misurabile e che
\[ A = g^{-1}(B \times \{ 0 \} ) \]

Note

  1. Per definire la differenziabilità in $0$ e in $1$ estendiamo la funzione a $f(0)$ in un intorno sinistro di $0$ e a $f(1)$ in un intorno destro di $1$.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
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