$L^\infty$ è sempre il duale di $L^1$?

[otta96]

Ciao a tutti, riguardando i miei appunti sugli spazi $L^p$, mi sono accorto che quando si dice che $L^p'$ è il duale di $L^p$ (se $1<p<+\infty$ e $1/p+1/p'=1$) e che $L^\infty$ è il duale di $L^1$, per quest'ultima cosa si aggiunge che lo spazio di misura deve essere $\sigma$-finito.
Ma quindi cosa succede se lo spazio non è $\sigma$-finito? Esistono spazi di misura per cui l'$L^\infty$ non è il duale di $L^1$? In quel caso sarebbe $L^\infty\subseteq(L^1)^'$ per Holder. Io ho provato a pensare cosa succede con il classico esempio di spazio non $\sigma$-finito, cioè un insieme più che numerabile con la misura che conta ma non ne ho cavato niente.

[Bremen000]

Guarda qua!

[otta96]

Incredibile! Bello quel post, grazie di avermelo linkato.
Comunque mi sorgono spontanee alcune domande, se sai dare qualche risposta te ne sarei grato.
Prima di tutto gli spazi $\sigma$-finiti allora sono localizzabili (c'è un modo diretto di vederlo)? Dove si possono studiare queste cose (ci sono sul Rudin)? Se ci chiediamo se il duale di $L^1$ sia isometrico linearmente a $L^\infty$ cosa possiamo dire (cioè la mappa non è per forza quella canonica)?

[dissonance]

https://books.google.de/books?id=wI4fAw ... &q&f=false

(Folland, "Real analysis", 2da edizione, pag.191)