Risolvere l'equazione di Poisson
Inviato: 05/05/2019, 14:41
Buongiorno a tutti! Data la soluzione fondamentale \(\Phi \) dell'equazione di Laplace e una \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\), per dimostrare che \(u:=\Phi*f\) ha la proprietà \(-\Delta u=f\) si arriva a questo passaggio: \[\Delta u(x)=\int_{B(0,\epsilon)}\Phi(y)\Delta_xf(x-y)dy+\int_{\mathbb{R}^n-B(0,\epsilon)}\Phi(y)\Delta_xf(x-y)dy:=I_\epsilon+J_\epsilon,\] dove occorre separare l'integrale dal momento che \(\Phi\) esplode in \(y=0\). Tuttavia non capisco come si ottengono le seguenti disuguaglianze: \[|I_\epsilon|\le C\Vert D^2f\Vert_{L^\infty}\int_{B(0,\epsilon)}|\Phi(y)dy \le\begin{cases}C\epsilon^2|\log\epsilon| & (n=2), \\ C\epsilon^2 & (n\ge 3).\end{cases}\] Penso sia anche un problema di notazione perché non sono sicuro di cosa denoti l'espressione \(D^2f\). Qualcuno saprebbe gentilmente aiutarmi a capirle?