Buongiorno a tutti. Mi scuso in anticipo se commetto un errore, ma non so bene se è meglio postare questa discussione qui o nella sezione di geometria. In ogni caso: ho bisogno di una spiegazione della definizione di integrale di una \(n\)-forma su una varietà liscia \(M\).
In \(\mathbb{R}^n\) il discorso mi è chiaro: sfruttando l'identificazione \(\mathcal{C}^\infty\leftrightarrow\Omega_n\mathbb{R}^n\) data da \(f\leftrightarrow fdx_1\wedge...\wedge dx_n\), posso integrare una forma \(\omega\) definita su un aperto \(U\subset\mathbb{R}^n\) su un aperto \(A\subset U\) semplicemente ponendo \[\int_A \omega=\int_A fdx_1\wedge...\wedge dx_n:=\int_A f dx_1...dx_n\] riconducendomi ad un'integrazione multipla secondo Riemann nella misura \(dx_1...dx_n\).
Il problema adesso sta nel ricondurre l'integrazione di una \(n\)-forma (a supporto compatto) su una varietà orientabile \(n\)-dimensionale a quanto fatto qui sopra. Fissata una carta \((U,\varphi)\), si definisce l'integrale come \[\int_U\omega:=\int_{\varphi(U)}(\varphi^{-1})^*\omega\] su \(\varphi(U)\subset\mathbb{R}^n\). La motivazione sarebbe questa: il pullback della mappa \(\varphi^{-1}:\varphi(U)\subset\mathbb{R}^n\to M\) (possibile poiché \(\varphi\) è un diffeomorfismo) riporta una forma definita sulla varietà nello spazio euclideo, dove siamo capaci di integrare. Tuttavia mi sfugge nel concreto come applicare questa definizione: per adesso non posso fare a meno di trovare il tutto un po' sterile. Qualcuno saprebbe farmi degli esempi?