Integrare forme differenziali su varietà

[Elric]

Buongiorno a tutti. Mi scuso in anticipo se commetto un errore, ma non so bene se è meglio postare questa discussione qui o nella sezione di geometria. In ogni caso: ho bisogno di una spiegazione della definizione di integrale di una \(n\)-forma su una varietà liscia \(M\).

In \(\mathbb{R}^n\) il discorso mi è chiaro: sfruttando l'identificazione \(\mathcal{C}^\infty\leftrightarrow\Omega_n\mathbb{R}^n\) data da \(f\leftrightarrow fdx_1\wedge...\wedge dx_n\), posso integrare una forma \(\omega\) definita su un aperto \(U\subset\mathbb{R}^n\) su un aperto \(A\subset U\) semplicemente ponendo \[\int_A \omega=\int_A fdx_1\wedge...\wedge dx_n:=\int_A f dx_1...dx_n\] riconducendomi ad un'integrazione multipla secondo Riemann nella misura \(dx_1...dx_n\).

Il problema adesso sta nel ricondurre l'integrazione di una \(n\)-forma (a supporto compatto) su una varietà orientabile \(n\)-dimensionale a quanto fatto qui sopra. Fissata una carta \((U,\varphi)\), si definisce l'integrale come \[\int_U\omega:=\int_{\varphi(U)}(\varphi^{-1})^*\omega\] su \(\varphi(U)\subset\mathbb{R}^n\). La motivazione sarebbe questa: il pullback della mappa \(\varphi^{-1}:\varphi(U)\subset\mathbb{R}^n\to M\) (possibile poiché \(\varphi\) è un diffeomorfismo) riporta una forma definita sulla varietà nello spazio euclideo, dove siamo capaci di integrare. Tuttavia mi sfugge nel concreto come applicare questa definizione: per adesso non posso fare a meno di trovare il tutto un po' sterile. Qualcuno saprebbe farmi degli esempi?

[dissonance]

Io non ho mai davvero capito queste cose finché non ho iniziato a dover fare calcoli sulla sfera. La sfera \(\mathbb S^2\) è la sottovarietà di \(\mathbb R^3\) descritta, per esempio, dalle coordinate polari
\[
x=\sin \theta \cos\phi, \quad y=\sin \theta \sin \phi, \quad z=\cos \theta,\]
e dalle coordinate cilindriche
\[
x=\cos \phi, \quad y=\sin\phi, \quad z=z,\]
(l'ultima equazione è vuota, serve solo a specificare che la terza coordinata è \(z\)). Prova a prendere la 2-forma \(d\phi\wedge dz\) (coordinate cilindriche), calcola la sua espressione in coordinate polari (ovvero il suo pullback via la mappa \(\varphi(\theta, \phi)=(z, \phi)\)), e verifica direttamente che

\[
\int_{\mathbb S^2} d\phi\wedge dz =\int_{\mathbb S^2} -\sin \theta\, d\phi\wedge d\theta. \]

[Elric]

Ciao, dissonance. In questo caso, la mappa dovrebbe essere \(\varphi(\theta,\phi)=(\cos\theta,\phi)=(z,\phi) \); quindi \((\varphi^{-1})^*\phi=\phi\), e \((\varphi^{-1})^*z=\cos\theta\).

Siccome \((\varphi^{-1})^*d\phi=d(\varphi^{-1})^*\phi \ d\phi\) e analogamente \((\varphi^{-1})^*dz=d(\varphi^{-1})^*z=d\cos\theta=-\sin\theta \ d\theta\) si avrebbe \[\int_{\mathbb{S}^2}\omega=\int_{\mathbb{S}^2}dz\wedge d\phi=\int_{\varphi(\mathbb{S}^2)}(\varphi^{-1})^*(d\phi\wedge dz)=\int_{\varphi(\mathbb{S}^2)}-\sin\theta \ d\phi\wedge d\theta.\] (in questo caso particolare siccome sono già nello spazio euclideo banalmente \(\varphi(\mathbb{S}^2)=\mathbb{S}^2\subset\mathbb{R}^3\), no?).

In realtà ho dei dubbi su quello che sto facendo. Posso cavarmela così anche quando integro su tutta la sfera? La costruzione che ho presentato vale integrando su una carta \((U,\varphi)\), ma una sola carta non basta a coprire tutta la sfera. Per integrare su tutta la varietà non occorrerebbe impostare un integrale del tipo \[\int_M\omega:=\sum_\alpha\int_{U_\alpha}\rho_\alpha\omega,\] con \(\{\rho_\alpha\}\) una partizione subordinata alle carte? Se mi sto sbagliando non mi lamento, perché questa definizione mi sembra ancora più intrattabile a livello di conti di quella precedente.

[dissonance]

Noo non ti preoccupare. In pratica, si integra sempre su una carta sola. Generalmente, si perdono solo insiemi di misura nulla, quindi dal punto di vista dell'integrazione non cambia niente.