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Integrale della delta di dirac

13/05/2019, 09:35

Buongiorno,
sono attualmente alle prese con l'esame di analisi di segnali, e sto un po' smanettando con le distribuzioni.
So per definizione che l'integrale della delta di dirac da -inf a +inf è uguale ad uno, intuitivamente ho quindi pensato che l'integrale della delta corrisponde ad una porta il cui supporto varia in base agli estremi di integrazione.
Andando da -inf a +inf si prende tutto R e quindi la porta ha un supporto infinito, ora il mio dubbio è : se devo integrare la delta da -inf a t generico, come risultato avrò u(-t) ?
Con u(-t) intendo un gradino, uguale a 1 per t < 0 e nullo altrove.

Grazie in anticipo!

Re: Integrale della delta di dirac

14/05/2019, 00:23

La delta di Dirac e' in effetti la derivata in senso distribuzionale della funzione gradino di Heaviside. In tal senso, pero', entrambe le scritture \( \int_{- \infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1 \) e \( H(t)= \int_{- \infty}^t \delta(x) \, dx \) sono abusi - nella fattispecie la seconda non significa che il gradino di Heaviside e' l'integrale della delta (che, in quanto distribuzione, non e' definito) quanto, viceversa, che la delta e' appunto la derivata distribuzionale del gradino di Heaviside; la notazione corretta dovrebbe quindi essere \( H'(x) = \delta \), dove l'operatore di derivazione \( ' \), come detto, e' da intendersi per distribuzioni. Di tutto cio' si puo' dare anche un'interpretazione misura-teoretica (la \( \delta \) e' di fatto una misura singolare), ma non so quanto ti interessi.

Re: Integrale della delta di dirac

14/05/2019, 16:08

obnoxious ha scritto:La delta di Dirac e' in effetti la derivata in senso distribuzionale della funzione gradino di Heaviside. In tal senso, pero', entrambe le scritture \( \int_{- \infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1 \) e \( H(t)= \int_{- \infty}^t \delta(x) \, dx \) sono abusi - nella fattispecie la seconda non significa che il gradino di Heaviside e' l'integrale della delta (che, in quanto distribuzione, non e' definito) quanto, viceversa, che la delta e' appunto la derivata distribuzionale del gradino di Heaviside; la notazione corretta dovrebbe quindi essere \( H'(x) = \delta \), dove l'operatore di derivazione \( ' \), come detto, e' da intendersi per distribuzioni. Di tutto cio' si puo' dare anche un'interpretazione misura-teoretica (la \( \delta \) e' di fatto una misura singolare), ma non so quanto ti interessi.


Innanzitutto grazie tantissimo per la risposta, si diciamo che capire un minimo di teoria ora come ora mi piacerebbe, anche perché la professoressa ( come in altri esami di ingegneria ) si è soffermata molto su risoluzione di esercizi e poco sulla teoria.
Ti riporto il testo dell'esercizio sulla quale ho avuto dubbi.

Dati due segnali n1(t),n2(t) devo determinare l'uscita come convoluzione dei due segnali

Immagine

Ovviamente l'esercizio è facilmente risolvibile con la trasformata di fourier, calcolando Y(f) = N1(f) N2(f) in quanto la convoluzione diventa prodotto, e poi antitrasformando y(t).
Per un mio interesse personale, mi piacerebbe sapere se l'esercizio è risolvibile o meno nel dominio del tempo, ma ho diverse lacune sulla teoria delle distribuzioni, sapresti consigliarmi del buon materiale?
Ultima modifica di Lookasmk il 15/05/2019, 11:54, modificato 1 volta in totale.

Re: Integrale della delta di dirac

14/05/2019, 20:10

Se hai sbagliato a scrivere, correggi.

Le due funzioni sono gradini unitari centrati in $0$ ed in $T$. Il calcolo esplicito non sembra difficile. Hai provato?

Re: Integrale della delta di dirac

14/05/2019, 21:11

gugo82 ha scritto:Se hai sbagliato a scrivere, correggi.

Le due funzioni sono gradini unitari centrati in $0$ ed in $T$. Il calcolo esplicito non sembra difficile. Hai provato?

ora correggo, aspetta ma mi stai dicendo che quindi i due integrali sono uguali a due gradini unitari?
Contrariamente a quanto è stato detto prima? :cry:
In che senso i gradini sono centrati in $0$ e in $T$ ?
Non dovrebbero essere una funzione uguale a 1 per $-\infty < t < 0 $ e $0$ altrove, per il primo integrale?

Re: Integrale della delta di dirac

14/05/2019, 22:24

Il gradino unitario e' esattamente la funzione a gradino di Heaviside (unitario perche' salta da zero a uno). "Centrati in \(0 \) e \(T \)" significa che il salto avviene rispettivamente a \(t =0 \) e a \(t=T\).

Re: Integrale della delta di dirac

14/05/2019, 23:27

Lookasmk ha scritto:
gugo82 ha scritto:Se hai sbagliato a scrivere, correggi.

Le due funzioni sono gradini unitari centrati in $0$ ed in $T$. Il calcolo esplicito non sembra difficile. Hai provato?

ora correggo, aspetta ma mi stai dicendo che quindi i due integrali sono uguali a due gradini unitari?
Contrariamente a quanto è stato detto prima? :cry:

Nessuno ha detto che non lo sono.
Ti è stato solo fatto notare che la notazione usata non è delle migliori (dal punto di vista del matematico), anche se è molto usata in ambito ingegneristico.

Re: Integrale della delta di dirac

15/05/2019, 12:55

Grazie tantissimo per il supporto, dunque giusto per capirci i due integrali sono uguali a:
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Ora presupponendo che sia tutto giusto fin qui, ed il che è piuttosto improbabile, sono ancora più dubbioso di prima su come operare, perché non so se il salto del secondo del gradino traslato viene prima o dopo lo zero:
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Tramite trasformate di fourier ottengo:
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Re: Integrale della delta di dirac

16/05/2019, 12:26

No.

Hai calcolato male gli integrali con la $delta$.

Re: Integrale della delta di dirac

16/05/2019, 19:52

gugo82 ha scritto:No.

Hai calcolato male gli integrali con la $delta$.

quanto dovrebbero venire scusa? :(
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