Particolare funzione non subarmonica

[otta96]

Studiando le funzioni armoniche e simili e mi sono chiesto se fosse vero che una funzione è subarmonica se e solo se è minore (o uguale) in ogni punto alla media fatta in una qualsiasi palla (PIENA!) centrata in quel punto con chiusura inclusa nell'aperto.
Questo perché è noto che una funzione è armonica ($\Deltau=0$) $<=>$ vale la proprietà della media sulle palle $<=>$ vale la proprietà della media sulle sfere. Inoltre una funzione è subarmonica ($\Deltau>=0$) $<=>$ vale la proprietà della submedia (cioè essere $<=$ alle medie) sulle sfere. (Lo so sono stato un po' impreciso sulla regolarità ma non è questo che mi interessa in questo caso.)
Infine se la proprietà della submedia sulle sfere (cioè essere subarmonica) implica la proprietà della submedia sulle palle, per quanto ne so non vale il viceversa e volevo proprio un controesempio di questo fatto.
Mi rendo conto che forse non sono stato chiarissimo ma in questo caso essere completamente chiaro avrebbe comportato anche essere pesanti con la notazione, quindi confido che capirete lo stesso e ringrazio in anticipo chi mi risponderà.

[gugo82]

Ma le funzioni subarmoniche non sono definite proprio a partire dalla proprietà di media?
Che poi, se bastantemente regolari, abbiano $-\Delta u <= 0$ segue dalla definizione.
Puoi vedere il Lieb & Loss, oppure anche il Gilbarg & Trudinger (forse).

[otta96]

Il punto è che di proprietà delle medie c'è ne sono due:sulle palle e sulle sfere (i bordi delle palle) e per definire la subarmonicità si usa quella sulle sfere. Volevo sapere sostanzialmente se le definizioni date con le due proprietà della media sono equivalenti.
Ah comunque assumete che le funzioni siano almeno continue.

[gugo82]

Palle, palle… Quella sui “gusci”, cioè sulle sfere, è più forte (implica quella sulle palle).

Comunque, trovi quello che ti serve (con delle notazioni bruttissime, a mio parere) sul Lieb & Loss, Analysis - second edition, chp. 9.

[otta96]

Grazie della referenza, cercherò di consultarla prossimamente.