Buongiorno a tutti,
spero che questo argomento sia pertinente in Analisi superiore. Mi trovo a dover calcolare la derivata (rispetto ad una variabile presente negli estremi di integrazione) di un integrale multidimensionale di una gaussiana, ossia
$ \frac{\partial}{\partial x}\left( \int_{-oo}^{d_1(x)}\int_{-oo}^{d_2(x)}...\int_{-oo}^{d_n(x)} \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n \det(\mathbf{\Gamma})}}\exp\left(-\frac{\mathbf{y}^\top \mathbf{\Gamma}^{-1} \mathbf{y}}{2}\right)\text{d}^n \mathbf{y}\right)$
dove $\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n$ e $\mathbf{\Gamma}$ e' una matrice definita positiva (matrice di correlazione) con $\gamma_{i,j}=\gamma_{j,i}$ e $\gamma_{i,i}=1$. Inoltre $d_i(x) = \frac{\ln x +a_i}{b_i}$ con $i=1,...,n$, $a_i\in mathbb{R}$, $b_i\in mathbb{R}_+$ e ovviamente $x\in mathbb{R}_+$.
La funzione integranda e' secondo me integrabile in quanto limitata e continua ovunque. Quindi all'occorrenza Fubini puo' essere applicato? (non sono sicuro in quanto c'e' $-\oo$ negli estremi di integrazione). Puo' essere utile? Fondamentalmente mi servirebbe una variante della Leibniz integral rule ove la funzione integranda e' in piu' variabili (ma non dipende dalla variabile rispetto alla quale devo fare la derivata).
Alternativamente, credo, il problema possa essere riformulato rispetto alla teoria della misura/probabilita'.
$ \frac{\partial}{\partial x}\left( \int_{D(x)}f(\mathbf{y})\text{d}^n \mathbf{y}\right)$
dove $D(x) = \{\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n,x\in \mathbb{R}_+:\bigcap_{i=1}^n\{y_i\leq \frac{\ln x +a_i}{b_i}\}\}$e $f(\mathbf{y})$ la funzione di densita' di un vettore stochastico normale tale che $\mathbf{Y}~\mathcal{N}_n(\mathbf{0},\mathbf{\Gamma})$. Quindi l'integrale non e' nient'altro che $\mathbb{P}(\mathbf{Y}\in D(x))=\mu_\mathbf{Y}(D(x))$. Si tratta quindi di trovare la sensitivita' della misura rispetto alla regione di integrazione/evento.
Anche solo un consiglio/dritta su quale teorema o risultato usare per risolverlo sarebbe molto apprezzato.
Grazie mille,
F