Dubbio convergenza integrale spazio di Sobolev

[Grabio91]

Buonasera a tutti, sono nuovo del forum. Sto preparando un esame di equazioni alle derivate parziali, di una magistrale in matematica per l'ingegneria. Venendo da una magistrale in ingegneria meccanica ed essendo a secco da un po' con certe cose, mi ritrovo con delle difficoltà. Premetto che non ho fatto teoria della misura e nemmeno delle analisi 1 e 2 fatte con eccessivo "rigore matematico".
L'esercizio che non capisco è il seguente:
data $u(x)=\frac{e^\norm{x}-1}{\norm{x}^{3/2}}$ con $x\in B_1(0)\\ {0}$ , dove $B_1(0)=\{x\in \mathbb{R}^n:\norm{x}<1\}$
stabilire per quali $n\geq 1$ si ha $u \inH^1(B_1(0))$.
Traccia soluzione:
Si ha che $u$ è una funzione radialmente simmetrica, per la quale valgono le relazioni:
$\norm{x}_{L^2(B_1(0))}^2=n\omega_n\int_0^1u^2(r)r^{n-1}dr$ , $\norm{\abs{\nabla u}}_{L^2(B_1(0))}^2=n\omega_n\int_0^1(u'(r))^2r^{n-1}dr$ dove $\omega_n$ è la misura della sfera unitaria n-dimensionale (quindi una costante).

Detto ciò, scrivo la norma $L^2$ di $u$ e di $\abs{\nabla u}$, ricordandomi che
dato $\alpha>0$, $\int_0^\alpha\frac{1}{x^p}dx<+\infty \Leftrightarrow p<1$ e che $e^x$ va come $1+x$ vicino a $x=0$.
Concettualmente credo di esserci, ma quando si tratta di studiare la convergenza degli integrali non riesco proprio a capire in che modo ragionare. Dovrebbe venire $n>1$ affinchè $u\in L^2(B_1(0))$, $n>3$ affinchè $\abs{\nabla u}\in L^2(B_1(0))$ e quindi in totale $n>3$ affinchè $u\in H^1(B_1(0))$.
In particolare, tralasciando le costanti:
$\int_0^1\frac{(e^r-1)^2}{r^3}r^{n-1}dr<+\infty$
dato che $(e^r-1)^2r^{n-4}$ va come $r^{n-2}$ per $r\rightarrow 0$ (prendo il grado più alto?!?), si deve avere $n>1$.
mentre
$u'(r)=\frac{e^rr^{3/2}-\frac{3}{2}r^{1/2}(e^r-1)}{r^3}$ e fin qui ok, ma poi come arrivo a dire $n>3$ dalla formula per la norma $L^2$ del gradiente? C'è di mezzo l'utilizzo dello sviluppo asintotico di $e^x$ che ho scritto sopra e qualche semplificazione, ma non riesco a capire il procedimento esatto passo a passo, visto che a seconda di come ragiono ottengo risultati diversi.

Inoltre, in questo caso la funzione è continua nel dominio, ed anche se illimitata in 0 resta comunque $L^2$. In tutti i punti di $B_1(0)$ tranne che nell'origine questa è anche derivabile in senso classico, e vale lo stesso discorso di prima. Per quanto riguarda la derivata debole, in generale andrebbe anche dimostrato che questa è coincidente con la derivata classica? Chiedo questa cosa perchè in alcuni esercizi la prof lo dimostrava, mentre qui non fa alcun commento al riguardo. Per quanto ne so, essendo la derivata debole una generalizzazione della classica, l'esistenza della seconda implica l'esistenza della prima e la coincidenza delle due.
A presto e grazie infinite per il vostro supporto!

[obnoxious]

[...]
$u'(r)=\frac{e^rr^{3/2}-\frac{3}{2}r^{1/2}(e^r-1)}{r^3}$ e fin qui ok, ma poi come arrivo a dire $n>3$ dalla formula per la norma $L^2$ del gradiente? C'è di mezzo l'utilizzo dello sviluppo asintotico di $e^x$ che ho scritto sopra e qualche semplificazione, ma non riesco a capire il procedimento esatto passo a passo, visto che a seconda di come ragiono ottengo risultati diversi.
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Ho fatto il conto con l'espressione della derivata che hai scritto e a me torna. In particolare espandi il quadrato del numeratore per bene... ti dovrebbe uscire che va a zero come \( r^3 \). Poi hai il denominatore che e' \(r^6\), quindi l'intera frazione e' asintotica (nell'intorno di \(0\)) a \(C/r^3\).

[...] Inoltre, in questo caso la funzione è continua nel dominio, ed anche se illimitata in 0 resta comunque $L^2$. In tutti i punti di $B_1(0)$ tranne che nell'origine questa è anche derivabile in senso classico, e vale lo stesso discorso di prima. Per quanto riguarda la derivata debole, in generale andrebbe anche dimostrato che questa è coincidente con la derivata classica? [...]

Immagino dipenda dal testo dell'esercizio. Comunque dovreste aver visto qualche teorema a proposito (quando e come le due nozioni coincidono). Che testo seguite?

[dissonance]

https://math.stackexchange.com/q/264792/8157

[obnoxious]

Vedi anche Esercizio 10.4 del Leoni. Queste domande sono classiche ed hanno sempre risposte nei libri.