Laurent vs Taylor

[laulioe]

Ho iniziato a studiare la serie di Laurent e, detto in poche parole e informalmente, ho capito che:
Data una funzione olomorfa in un intorno circolare di z0, possiamo esprimerla tramite serie di Taylor nell'intorno stesso.
Qualora lo sviluppo di Taylor non dovesse essere applicabile... la funzione, se è olomorfa in una corona circolare di centro in z0, può essere espressa tramite serie di Laurent nella corona stessa.

Quindi mi sorge un dubbio: La differenza tra i due sviluppi è legata soltanto ai loro rispettivi intorni? (uno circolare, l'alro una corona circolare). Cioè, nel primo caso è olomorfa in un cerchietto; mentre nel secondo in una corona... ?
Oppure esistono altre condizioni affinché Taylor non sia applicabile mentre Laurent sì?

[dissonance]

Ragiona sugli esempi, non su concetti astratti. La funzione \(f(z)=\frac{1}{z}\) si può sviluppare in serie di Taylor di centro l'origine? E la funzione \(f(z)=z+\frac1z\)? Eccetera. Costruisciti esempi.