Trasformata di Fourier di una funzione test

[dissonance]

Si, non c'è niente di profondo. Se una funzione continua resta limitata dopo il prodotto con qualsiasi polinomio, significa che decade "molto rapidamente" ad infinito (non mi fare scrivere formule che sono da cellulare). E quindi è sicuramente integrabile, e questo è un facilissimo esercizio di integrali impropri.

P.S.: se poi ti piace l'analisi funzionale puoi pure osservare che lo spazio \(D(\mathbb R^n)\) delle funzioni \(C^\infty\) a supporto compatto è incluso in \(\mathcal{S}(\mathbb R^d)\), lo spazio di Schwartz, e la trasformata di Fourier applica \(\mathcal{S}(\mathbb R^d)\) in sé. Quindi, in particolare, \(\mathcal{F}(D(\mathbb R^n))\subset \mathcal{S}(\mathbb R^n)\), e quest'ultimo spazio è incluso in \(L^1(\mathbb R^d)\) per via dell'argomento che dicevo sopra.

[dissonance]

Si, ma è sempre la stessa roba. Esattamente gli stessi conti di qua, te li puoi fare per esercizio, se vuoi.


Una ultima cosa;

A parte che direi che questo vale per N pari altrimenti \(|\xi|^N\) non sarebbe un polinomio

Vero. Ma se vale per \(N\) pari vale per tutti gli \(N\), per motivi facili; per esempio, che so,
\(
|\xi|^{N}\le |\xi|^{2N}\) per \(|\xi|\) grande. Qui non stiamo facendo stime precise, è tutta una cosa grossolana.