Integrare funzioni razionali in $(0,+oo)$

[Freebulls]

Buonasera, sto cercando di mostrare tale fatto
TEOREMA Siano $P_n (x)$ e $Q_m (x)$ due polinomi reali di grado $n$ e $m$ e siano $z_1,…,z_s$ zeri di $Q_m$. Se $m≥n+2$ e $Q_m (x)≠0 ∀x≥0$, allora

$\int_{0}^{+∞}(P_n (x))/(Q_m (x) ) dx=-2πi\sum_{k=1}^{s} Res_(z_k ) (P_n/Q_m \cdot log)$

Ove $log⁡z=ln⁡|z|+i arg⁡z$ e $arg⁡z∈[0,2πi)$
Ecco cosa ho fatto fino ad ora
DIMOSTRAZIONE Consideriamo la funzione $f(z)≔log⁡z⋅(P_n (x))⁄(Q_m (x) )$. Siano $δ,α∈(0,π)$ e $r,R∈(0,+∞)$, consideriamo la curva $γ=λ_(1,α,δ)+γ_R+ γ_ε^(-) +λ_(2,α,δ)$ rappresentata dai cammini

$λ_(1,α,δ,r) (x)=re^(iα+x), x∈[0,R cos⁡δ-r sin⁡α ]$
$γ_(r,δ)^(-)(θ)=re^(iθ), θ∈[δ,2π-δ]$
$λ_(2,α,δ,r)^(-) (x)=re^(-iα)+x, x∈[r sin⁡α-R cos⁡δ,0]$
$γ_(R,α) (θ)=Re^(iθ), θ∈[α,2π-α]$

Di conseguenza

$2πi\sum_{k=1}^{s} Res_(z_k ) (P_n/Q_m)=\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{λ_(1,α,δ,r)}f(z)dz+\int_{γ_(R,α)}f(z)dz+\int_{λ_(2,α,δ,r)^(-)}f(z)dz+\int_{γ_(r,δ)^-}f(z)dz$

Calcolndo gli integrali singolarmente ho fatto vedere che quelli lungo le "circonferenze" $\gamma$ tendo a zero per $R->+oo$ e $r->0$. Ora devo mostrare che

$\int_{λ_(1,α,δ,r)}f(z)dz=\int_{0}^{R cos⁡δ-r sin⁡α} log⁡(re^(i\alpha)+x)⋅(P_n (re^(i\alpha)+x))/(Q_m (re^(i\alpha)+x))dx->\int_{0}^{+∞}(P_n (x))/(Q_m (x) ) log(x)dx$

Ma non so come fare, avete qualche suggerimento?