Singolarità e residui

[vitunurpo]

Ciao a tutti.
Sto svolgendo un esercizi sulla classificazione dei punti singolari e il conseguente calcolo dei residui.
Vorrei sapere se ho svolto l'esercizio correttamente, dato che non ho riscontri.

Mi viene data la seguente funzione
$ f(z)= 1/z^2 sin ((z\pi) /(z+1)) $
I punti singolari sono in $ z=0 $ e $ z=-1 $

Per z=0 ottengo una singolarità polare, che ho trovato sviluppando il seno (quindi ho usato l'asintotico) e calcolando il limite per z che tende a 0. L'ordine del polo è 1 e il residuo, calcolato con la formula, è $ pi $ .
La singolarità in z=-1 invece è essenziale.
Qua ho sviluppato il seno in serie di Laurent e trovato il coefficiente di $ z^(-1) $ . Mi è venuto ancora $ pi $ .

Ultimo passaggio che mi ha creato problemi.
Mi viene chiesto di classificare anche la singolarità all'infinito.
Ho sostituito $ w=1/z $ , ottenendo $ f(w)=w^2sin(pi/(w+1)) $ . Ho calcolato il limite per w che tende a 0.
Mi viene 0, quindi una singolarità essenziale.
Come dovrei ora calcolare il residuo? mi è poco chiaro...
Comunque, vorrei capire se il procedimento dell'esercizio è complessivamente corretto.

Grazie mille

[vitunurpo]

Grazie per la risposta.
Viene 0 perché la parte singolare delle serie di Laurent è zero, se non erro..
Comunque, se non ti dispiace, volevo chiederti come avrei dovuto sviluppare il conto del residuo nel caso in cui avessi avuto o un polo di ordine N o un singolarità essenziale.
Sarebbe stato giusto, per il polo N usare la classica formula con la derivata N-1esima e per la singolarità essenziale sviluppare in serie di Laurent e prendere il coefficiente del termine $ z^-1 $ ?
E' che il conto del residuo per singolarità all'infinito mi è poco chiaro (spiegato un po' alla bell'e meglio sulle mie dispense...)e mi crea dubbi.

[vitunurpo]

Ciao, scusami, volevo dire che la singolarità è eliminabile, non essenziale! Ho sbagliato a scrivere nel mio primo post.

sì, quando ho scritto ''viene 0'' era riferito al residuo.
Grazie per la formula e il link, guarderò anche il thread