Buona definizione del prodotto di convoluzione

[ZorroM]

Salve.
Ho il seguente problema riguardante la convoluzione.
In poche parole a lezione ci è stato definito il prodotto convoluzione tra due funzioni misurabili $f,g: \mathbb{R}^{d}\to [0,+\infty]$ come $f**g(x) := int_{RR^d} f(x-y)g(y) "d"y$ con la misura di Lebesgue.
Successivamente si va a estendere il prodotto a tutte le funzioni misurabili e si fanno le stime del prodotto di convoluzione nel caso in cui le due funzioni siano in $L^1$ o $L^p$.
E' qui che c'è qualcosa che non mi torna. Nei risultati illustrati a lezione quando si va a prendere funzioni positive non si dimostra la buona definizione del prodotto di convoluzione (e qui credo sia perchè è stato effettivamente definito per funzioni positive), mentre quando si prendono funzioni di segno generico viene effettuata la verifica che il prodotto di convoluzione sia ben definito. Per farlo si va a vedere che il prodotto $f(x-y)g(y)$ è in $L^1$. Anche qui, essendo $L^1$, è una funzione integrabile e dunque non ci sono problemi di sorta per l'integrale.
Ciò che non mi torna però è una questione diversa. Nel caso di funzioni positive misurabili chi mi garantisce che $f(x-y)g(y)$ sia integrabile? E nel caso di due generiche funzioni con proprietà qualsiasi (chiamiamole $s$ e $t$) è sufficiente provare che $s(x-y)t(y)$ sia integrabile affinchè sia ben definito il prodotto di convoluzione o devo necessariamente richiedere che sia una funzione $L^1$?

[gugo82]

Definisci "integrabile"... Come già visto altre volte, anche recentemente, il problema è che non tutti gli autori partono dalla medesima definizione di integrabilità.