Supporto distribuzione

Messaggioda Matemagica11 » 29/06/2019, 11:19

Buongiorno, ho un problema con questo esercizio:
Sia $p>0$ fissato, definiamo $u_p(\phi)=\int_{\mathbb{S^{n-1}}}\phi(\p\omega)d\omega$
devo far vedere che è una distribuzione, per farlo ho fatto vedere che è lineare e che vale $|u_p(\phi)|\leC\text{sup}_K|\phi(\omega)|$
poi devo dire se è a supporto compatto: faccio vedere che il supp è chiuso e limitato, perché dimostro che $\text{supp }u_p \subseteq\{|x|\le p\}$.
In fine devo descrivere $\text{supp }u_p$:
riesco a dimostrare che $\text{supp }u_p \subseteq\{|x|= p\}$ ma poi mi blocco, la mia domanda è: riesco a dimostrare l'uguaglianza o non si riesce a dire altro?

Grazie mille
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Re: Supporto distribuzione

Messaggioda obnoxious » 29/06/2019, 12:01

Ciao, sono un po' confuso dalla tua notazione. Stai integrando sulla \(n\)-sfera unitaria? Quindi con \( d \omega \) intendi la relativa misura di superficie?
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Re: Supporto distribuzione

Messaggioda Matemagica11 » 29/06/2019, 12:14

Si, $d\omega$ denota la misura su $\mathbb{S}^{n-1}$indotta dalla misura di Lebesgue in $\mathbb{R}^{n}$
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Re: Supporto distribuzione

Messaggioda obnoxious » 29/06/2019, 13:05

Prova a ragionare per assurdo. Assumo che \(p=1\) per convenienza. Supponiamo che esista un aperto \( V \subseteq \mathbb{R}^n \) tale che \( \{ |x| < 1 \} \cup \{ |x| > 1 \} \subset V \) con inclusione stretta e \( \text{supp } u_1 = V^c\). Allora necessariamente \( V \cap \{ |x| = 1 \} \ne \varnothing \), quindi esistono un punto \( x_0 \in \{ |x| = 1 \} \) ed una palla (aperta) di raggio \( r > 0 \) tali che \( B_r (x_0) \subset V \); also, \( \overline{B_{r/2} (x_0)} \subset B_r (x_0) \subset V \). Adesso \( \overline{B_{r/2} (x_0)} \cap \{ |x| = 1 \} \) è chiuso e limitato, quindi compatto e con misura di superficie positiva, e pertanto puoi usare per esempio questa versione del lemma di Urysohn per costruire una funzione \(\bar{\phi}\) che valga \( 1 \) in \( \overline{B_{r/2} (x_0)} \cap \{ |x| = 1 \} \) e che sia supportata in \( B_r (x_0) \).
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Re: Supporto distribuzione

Messaggioda Matemagica11 » 29/06/2019, 13:46

Ok, quindi se ho capito bene arrivo a dire che $\text{supp}u_1\subset V$, ma questo è assurdo perché ho supposto che $\text{supp}u_1=V^c$, e perciò ho che $\text{supp}u_1=\{|x|=1\}$.

Grazie mille!
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Re: Supporto distribuzione

Messaggioda obnoxious » 29/06/2019, 14:00

Diciamo che il supporto di una distribuzione è definito come il complementare dell'aperto massimale tale che bla bla. Quello che mostro è che tale aperto massimale è proprio \( \{ |x| < 1 \} \cup \{ |x| > 1 \} \), perché se ce ne fosse uno più grande \(V\) (il che implicherebbe che \( \text{supp } u_1 \) è strettamente contenuto nella sfera unitaria) riusciremmo a costruire una funzione supportata in \(V\) tale che la distribuzione non si annulla contro tale funzione. Ti torna?
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Re: Supporto distribuzione

Messaggioda Matemagica11 » 29/06/2019, 14:26

Sì mi torna, grazie mille ancora!
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