Notazione calcolo delle variazioni

[dRic]

Ciao, ho iniziato a leggere un libro di calcolo delle variazioni e mi sono imbattuto in un tipo di notazione che mi lascia un po' perplesso. Premetto che il libro è di Cornelius Lanczos e pertanto è un po' vecchiotto e quindi non usa una terminologia molto attuale; è un lessico quasi più filosofico che matematico (cosa che, da profano, non mi dispiace).

Il problema è il seguente: sia, per esempio, una funzione del tipo
$$F(y, y', x)$$
e se ne voglia calcolare la variazione $\delta F$. Chiamando $\phi$ una generica funzione prova con determinate proprietà l'autore prosegue scrivendo:
$$\delta F = F(y + \epsilon \phi, y' + \epsilon \phi', x) - F(y, y', x)$$
dove $\epsilon$ è un numero piccolo a piacere. Dunque adesso viene scritto:
$$ \delta F = \frac {\partial F} {\partial y} \epsilon \phi + \frac {\partial F} {\partial y'} \epsilon \phi'$$
Ecco, sebbene intuitivamente mi possa andare anche bene (ovvero uno considera cosa succede andando a "variare" indipendentemente $y$ e $y'$), non capisco rigorosamente come si possano spiegare quelle derivate parziali. Per esempio, andando avanti, un problema chiede di considerare
$$F = y''^2 - y$$
e, nello svolgimento, viene calcolata
$$\frac {\partial F} {\partial y} = -1$$
e, analogamente,
$$\frac {\partial F} {\partial y''} = 2 y''$$

Mi pare un po' strano...

[apatriarca]

In questo caso stai considerando \(y'\) e \(y''\) come variabili indipendenti e non come derivate di \(y\). Si tratta di un accorgimento usato spesso quando si lavora con equazioni differenziali. Si considera in un certo senso un problema più generale in cui si rimuove temporaneamente la relazione tra le due variabili. Stai insomma riscrivendo la funzione originale come
\[ F(y, y', x) \to \begin{cases} F(y_0, y_1, x) \\ y_1 = y_0' \end{cases} \]
per poi considerare variazioni sulla prima equazione.

[dRic]

Però quando dice di considerare una variazione di $F$, scrive che $\delta y = y + \epsilon \phi - y $ e poi che $y' = y' + \epsilon \phi' - y'$ quindi qui ha sfruttato la dipendenza di una dall'altra se no avrebbe dovuto considerare due funzioni prova generiche e non $phi$ e $phi'$.

[apatriarca]

Non capisco che cosa intendi. Non mi sembra esserci alcuna contraddizione. \(\phi\) e \(\phi'\) sono le tue due funzioni generiche.

[dRic]

$phi'$ è la derivata di $phi$ quindi vuol dire che per ricavare $phi'$ ha sfruttato il fatto che $y'$ è derivata di $y$

[apatriarca]

Stai modificando \(y'\) usando \(\phi'\) per ipotesi. Non stai usando alcuna relazione tra le variabili.

[dRic]

$phi'$ non deve per forza essere la derivata di $phi$. Lo è se ammetti che modifichi $y'$ secondo la relazione $(y + \epsilon \phi)'$, quindi stai considerando la relazione tra le due. Se volessimo essere generali, perché non usa una latra funzione $g$?

[gugo82]

Fermi un po'...

Vediamo di mettere insieme due cosette.
L'intento del Metodo Classico nel CdV è quello di calcolare effettivamente una soluzione del problema. Questo si fa, usualmente, trasformando un problema variazionale in un opportuno problema differenziale (tipicamente, un'equazione differenziale con condizioni al contorno) mediante derivazione à la Gateaux del funzionale stesso ed uso del Lemma Fondamentale del CdV.

In particolare, se si ha un funzionale $I[y]$ definito su uno spazio funzionale $X$¹ ed ivi differenziabile, si sceglie una "direzione" $phi$ a supporto compatto e si calcola la "derivata direzionale":
\[
\delta I[y](\phi) := \lim_{h \to 0} \frac{I[y + h \phi] - I[y]}{h}\; ;
\]
per una variante del Teorema di Fermat, se $y$ è di estremo per $I$ allora $\deltaI[y](\phi ) = 0$ per ogni "direzione" $\phi$ e dunque $\deltaI[y]$ è l'operatore identicamente nullo.

Se, come nei casi di interesse, $I$ è un funzionale integrale, cioè del tipo:
\[
I[y] := \int_a^b f(x,y(x),y^\prime (x))\ \text{d} x
\]
con $f(x,y,p)$ "sufficientemente regolare" (qui ho pensato a funzioni di una variabile, ma aumentando il numero delle variabili la sostanza non cambia), la derivata di Gateaux si calcola portando il limite sotto integrale:
\[
\begin{split}
\delta I[y](\phi) &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_a^b \Big( f(x,y(x) + h \phi (x), y^\prime (x) + h \phi^\prime (x)) - f(x,y(x), y^\prime(x))\Big)\ \text{d} x \\
&= \int_a^b \lim_{h \to 0} \frac{ f(x,y(x) + h \phi (x), y^\prime (x) + h \phi^\prime (x)) - f(x,y(x), y^\prime(x))}{h}\ \text{d} x \\
&= \int_a^b \Big( f_y(x,y(x),y^\prime (x))\ \phi (x) + f_p (x,y(x),y^\prime (x))\ \phi^\prime (x)\Big)\ \text{d} x \; ;
\end{split}
\]
se anche $y$ è sufficientemente regolare, possiamo usare un integrazione per parti e, tenendo presente che $phi(a)=0=phi(b)$, otteniamo:
\[
\begin{split}
\delta I[y](\phi) &= \int_a^b f_y(x,y(x),y^\prime (x))\ \phi (x)\ \text{d} x + \int_a^b f_p (x,y(x),y^\prime (x))\ \phi^\prime (x)\ \text{d} x \\
&= \int_a^b f_y(x,y(x),y^\prime (x))\ \phi (x)\ \text{d} x + f_p (x,y(x),y^\prime (x))\ \phi (x)\Big|_a^b - \int_a^b \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[f_p (x,y(x),y^\prime (x))\right]\ \phi (x)\ \text{d} x \\
&= \int_a^b \left( f_y(x,y(x),y^\prime (x)) - \frac{\text{d}}{\text{d} x} f_p (x,y(x),y^\prime (x))\right)\ \phi (x)\ \text{d} x \; .
\end{split}
\]
Supponendo che $y$ sia di estremo per $I[y]$, risulta $\delta I[y](phi) = 0$ e ciò, per il LFdCdV, equivale a dire che l'integrando \( f_y(x,y(x),y^\prime (x)) - \frac{\text{d}}{\text{d} x} f_p (x,y(x),y^\prime (x)) \) è identicamente nullo in $(a,b)$.
Si ottiene così l'equazione di Eulero:
\[
f_y(x,y(x),y^\prime (x)) = \frac{\text{d}}{\text{d} x} f_p (x,y(x),y^\prime (x))
\]
che, se integrata, fornisce i punti stazionari regolari del funzionale $I[y]$.

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Note

1. Usualmente, nella teoria classica, $X$ è uno spazio di funzioni $C^k$ che soddisfano alcune condizioni; altrimenti, nella teoria moderna, $X$ è uno spazio di Sobolev $W^{k,p}$ oppure uno spazio di Lebesgue $L^p$. ↑

[dRic]

@gugo82 grazie mille per aver posto in maniera formale questi concetti - cosa che non avrei saputo fare. Tuttavia non comprendo il nesso con la mia domanda. Ti ti ringrazio comunque, ma penso di aver capito. O almeno di aver avuto una intuizione. (Mi ha acceso la lampadina vedere scritta la definizione di derivata in quel modo... nel libro che sto leggendo forse viene data per scontata e quindi avevo un po' di confusione)

PS: mi torna tutto quello che hai detto @gugo82, solo che la funzione di prova "abbastanza regolare" $\phi$ non deve necessariamente essere a supporto compatto. Quello è il caso in cui imponi che le variazioni agli estremi del dominio debbano essere nulle (cosa che capita di solito). Però è una inutile complicazione che non c'entra nulla con la mia domanda.

[gugo82]

Beh, anche l'approssimazione con cui è infarcito lo OP (in cui mancano del tutto il contesto e le definizioni) è stata un'inutile complicazione nello scrivere la mia risposta... Ma non mi pare di avertelo fatto notare, no?

Ti auguro di trovare utenti più esperti che rispondano con minore tasso di inutilità ai tuoi dubbi.

Buone vacanze.