Misura su semialgebra: lemma, Alberto Tesei, Istituzioni di Analisi Superiore

[elatan]

Forse ho un'idea: un risultato di carattere generale nelle pagine precedenti è il seguente: sia $\mathcal{S}$ una semialgebra e consideriamo due famiglie $\mathcal{U}(\mathcal{S})$ in cui ci sono le unioni finite di elementi di $\mathcal{S}$ e la famiglia $\mathcal{U_0}(\mathcal{S})$ in cui ci sono le unioni finite digiunte di elementi di $\mathcal{S}$, si dimostra dopo tanti trucchi insiemistici che queste due famiglie conincidono.

Allora nel nostro caso $G_1\cup G_2$ appartiene alla famiglia delle unioni finite di elementi della semialgebra, ma per quanto detto si può scrivere come unione di elementi disgiunti della stessa semialgebra.

[Bremen000]

Questo libro, cioè Istituzioni di Analisi Superiore di Alberto Tesei fornisce una costruzione della misura di Lebesgue molto particolare.

Praticamente, parte dalla semialgebre, poi dimostra che ogni volta che si ha una misura sigma finita su una semialgebra, allora esiste un'unica estensione di questa ad una misura sull'algebra minimale contentente la semialgebra (questo è un risultato di carattere generale).

Poi si passa alla misura di Lebesgue: si considera la semialgebra in esame e si considerano le unioni finite disgiunte di elementi di questa (i plurintervalli) che si dimostra costituiscono un'algebra, in particolare coincide con l'algebra minimale contente la semialgebra.

A questo punto si deinisce $\lamda_0$ sulla semialgebra e se ne considera una naturale estensione sull algebra dei plurintervalli. Se si riesce a mostrare che che $\lambda_0$ è una misura sigma finita allora per il risultato precedente esiste un'unica estensione all'aògebra dei plurintervalli, che essendo unica è quella che abbiamo scritto.

A questo punto si considera la misura esterna generata dalla coppia: "plurintervalli" e $\lambda_0$ e la misura di Lebesgue è la restrizione di questa alla sigma algebra corrispondente.

Grazie! Non avevo mai visto questo procedimento! Esistono veramente tante maniere per introdurla. Francamente questa mi pare un po' contorta ma d'altro canto è sempre così quando si incontra qualcosa a cui non si è abituati.

Per quanto riguarda il merito della questione, mi pare che tu abbia già risolto con lo spezzettamento dell'altro post. Mi pare andare bene!