Consideriamo la seguente famiglia di insiemi $$\mathcal{I}_0=\{(a,b]\;|\;-\infty\le a\le b<\infty\}\cup\{(a,\infty)\;|\;a\in\mathbb{R}\}.$$
La famiglia di insiemi che ho appena scritto è una semialgebra. La cosa da tenere in mente è che una semialgebra non è stabile rispetto alle unioni finite. Consideriamo ora la seguente applicazione $$\lambda_0:\mathcal{I}_0\to[0,\infty]$$ così definita:
\begin{split}
\lambda_0(\emptyset)&:=0\\
\lambda_0((a,b])&:=b-a\\
\lambda_0((a,\infty))&:=\infty.
\end{split}
Si mostra facilmente che $\lambda_0$ è finitamente additiva e monotona.
Lemma$quad$L'applicazione $\lambda_0$ è una misura $\sigma$-finita sulla semialgebra $\mathcal{I}_0$.
Dimostrazione$\quad$ Sia data una successione $\{F_l\}\subseteq\mathcal{I}_0$ di insiemi disgiunti tali che $F:=\bigcup_{l=1}^\infty F_l\in\mathcal{I}_0$. La dimostrazione della disuguaglianza $$\sum_{l=1}^\infty\lambda_0(F_l)\le\lambda_0(F)$$ mi è chiara. Resta allora da mostrare la disuguaglianza inversa, cioè $$\lambda_0(F)\le\sum_{l=1}^\infty\lambda_0(F_l).$$ Questa è evidente se la serie a secondo membro diverge, supponiamo quindi che $\lambda_0(F_l)<\infty$ per ogni $l\in\mathbb{N}.$ Per la definizione questo implica che $$F_l=(a_l,b_l]\quad(-\infty<a_l<b_l<\infty).$$ Per ogni $\varepsilon>0$ poniamo $$G_l:=\bigg(a_l,b_l+\frac{\varepsilon}{2^l}\bigg].$$ Allora $G_l\in\mathcal{I}_0$ e risulta: $$F_l\subseteq Int(G_l),\quad\lambda_0(G_l)=\lambda_0(F_l)+\frac{\varepsilon}{2^l}.$$
Poiché per ipotesi $F\in\mathcal{I}_0$, esiste una successione $\{H_n\}\subseteq\mathcal{I}_0$ tale che:
$(a)$ l'intervallo $H_n$ è limitato e la sua chiusura $cl(H_n)$ è contenuta in $F$ per ogni $n\in\mathbb{N}$;
$(b)$ $\lambda_0(H_n)\to\lambda_0(F)$ per $n\to\infty$.
Queste affermazioni si verificano facilmente.
Sia $n\in\mathbb{N}$ fissato e poniamo $H\:= H_n$ per semplicità. Poiché $$H\subseteq cl(H)\subseteq F=\bigcup_{l=1}^{\infty} F_l\subseteq\bigcup_{l=1}^\infty Int(G_l),$$ per il Teorema di Heine-Borel esiste $p\in\mathbb{N}$ tale che $$H\subseteq cl(H)\subseteq\bigcup_{l=1}^p Int(G_l)\subseteq \bigcup_{l=1}^p G_l.$$
A questo punto il libro asserisce:
$$\lambda_0(H)\le\sum_{l=1}^p\lambda_0(G_l)$$
Domanda.$\quad$ Chi ci dice che $\bigcup_{l=1}^p G_l\in\mathcal{I}_0?$, e chi ci dice che $\{G_l\}_{l=1}^p$ è disgiunta?
Sarei molto grato a chiunque potesse spiegarmi il perché di questo. Grazie.
PS: Non capisco perché $\mathcal{I}_0$ viene scritto in due modi differenti, ma in tutto il post si intende sempre la famiglia definita inizialmente.