Sviluppo di Laurent

[Greh]

SAlve a tutti; ho un dubbio riguardo aquesto esercizio:
Una funzione f ammette lo sviluppo $f(z) = sum_(k = 4)^oo c_(2k−5)(z + 8i)^(−3k+5)$ nell’insieme
$B_1(−8i)\setminus \{−8i\}$.
Allora certamente:
A) $z = −8i$ è una singolarità essenziale
B) $"Res"(f;−8i) = 0$
C) $"Res"(f;8i) = 0$
D) $z = −8i$ è un polo di ordine $7$

La soluzione è che il residuo in $z = -8i$ è $0$ e fino a qui ok perchè non c'è il termine di primo grado, però $z = -8i$ non è una singolarità eliminabile? Allora perchè la risposta A) è sbagliata?

[Greh]

Sì è un intorno bucato di raggio unitario ed è centrato in z = -8i .
I C2k−5 sono i coefficienti della serie il cui indice è dato appunto da 2k-5.
Solo una di queste può essere giusta e dalla soluzione è la B) Resf(-8i)=0.
Fa parte di un quiz quindi eventualmente alcune risposte possono essere giuste ma magari imprecise, rispetto ad altre che sono "più giuste". Solo che a me sembra che pure la A) sia giusta.

[Greh]

Allego una foto:

[Greh]

Ci sono alcune cose che non si capiscono. Dove è valido lo sviluppo? Intendi in $B(-8i, 1)-{-8i}$, un intorno bucato di raggio unitario? Inoltre chi sono i $c_{2k-5}$? Una sola di queste alternative è corretta?

Se ci sono altre cose non chiare fammelo sapere

[Greh]

Se sui $c_n$ non si hanno altre informazioni per me sono vere sia A che B. Se i $c_n$ fossero opportunamente nulli si potrebbe dare qualche conclusione diversa per il punto A. Resta il fatto che questi $c_{2k-5}$ mi sembrano buttati lì a caso.

Sicuramente sono messi a caso. Servono solo perchè, per esempio in altri esercizi della stessa tipologia , ipotizzando che il residuo lo si abbia per k=0 allora ci sarà una risposta corretta del tipo Resf(Z0) = C-5.