Equazione alle derivate parziali

[ludovica_97]

Ho il seguente problema di condunzione del calore:
\[\begin{cases}
u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)+tx \\
u(x,0)=1 \\
u_x(0,t)=0=u_x( \pi ,t) \end{cases}\]

$0<x<\pi, t>0$
devo trovare una soluzione e so che, essendoun problema non omogeneo con condizioni al bordo di Neumann, la soluzione ha la formula
$u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} [a_n e^{-dn^2t}+\int_0^t ds e^{-dn(t-s)}b_n(s)] cos(\frac{nx \pi}{L})$
Dove $a_n$ sono i coefficienti di Fourier di $1$ e quindi e' solo 1 se $n=0$, devo trovare $b_n(s)$ ma ho un problema con il calcolo. La funzione risulta essere pari, quindi dovrei avere una serie di soli coseni... Quindi la formula sarebbe
$b_n(s)= \frac{4}{L} \int_{-L/2}^{L/2} dx f(x) cos(nx2)$
Il problema e' che anche solo l'impostazione della formula per i $b_n(s)$ mi dicono essere sbagliata. Perche'?