Facendo probabilità con l’utilizzo di teoria della misura mi sono imbattuto nella disuguaglianza di cioppicioppi; rimane valida per qualsiasi spazio di misura?
Sicuramente la cosa dipende essenzialmente dalla disuguaglianza di makrov che sarebbe
$mu(abs(f)geqalpha)leq1/alpha*int_Xabs(f)dmu,forall alpha>0$
Fondamentalmente la dimostrazione che ho fatto è la seguente(considero $fgeq0$ per comodità)
Pongo $alpha>0$ e definisco $I(x)=1_(f^(leftarrow)([alpha,+infty)))(x)$
Da questa posizione si ottiene
$mu(fgeqalpha)=int_(X) Idmuleqint_(X)f/alpha dmu$
Ho pensato che la cosa non dipendesse dal fatto che una delle due quantità possa essere infinita in quanto per definizione stessa di $I$ si ha $0leqalphaI(x)leqf(x)$ il che per monotonia del’integrale Implica la disuguaglianza di destra
L’uguaglianza invece si ottiene notando che
$int_(X)Idmu=0*mu(I=0)+1*mu(I=1)=mu(fgeqalpha)$
Che, essendo $I$ una funzione a gradino, segue dalle proprietà degli integrali di funzioni a gradino.
Is it correct?
