Serie di Fourier di una funzione

Salve, stavo cercando di dimostrare quali coefficienti sono nulli nello sviluppo della serie di fourier della funzione:
$ f(x) = { ( -sin(3x) \qquad pi /3 \leq x \leq \frac{2\pi}{3} ),( 0 \qquad \text{altrove} ):} $
nella base $\sin(kx)$ e nell'intervallo $0, \pi$.

Scrivendo la definizione del coefficiente di fourier, ovvero con l'integrale, sono riuscita a dimostrare attraverso la parità che tutti i k pari sono nulli. Ma non basta: la soluzione dice che gli unici coefficienti non nulli sono $ \sin 3x, \quad \sin((6k\pm 1)x) \quad k \geq 0 $, come posso tirare fuori queste altre condizioni?

Salve, stavo cercando di dimostrare quali coefficienti sono nulli nello sviluppo della serie di fourier della funzione:

Sicura che si tratti della serie di Fourier ?
Di solito la serie di Fourier si usa con funzioni periiodiche, la tua non mi sembra una funzione periodica..
Forse si tratta della trasformata di Fourier ?

Salve, stavo cercando di dimostrare quali coefficienti sono nulli nello sviluppo della serie di fourier della funzione:

Sicura che si tratti della serie di Fourier ?
Di solito la serie di Fourier si usa con funzioni periiodiche, la tua non mi sembra una funzione periodica..
Forse si tratta della trasformata di Fourier ?

La puoi prolungare a funzione periodica avendo gli estremi uguali.

Hai provato semplicemente a fare i conti? Forse si può usare l'ortogonalità, ma messo così l'integrale che viene fuori non riesco a cavarci molto.

Ecco la soluzione (non capisco proprio da dove tira fuori quest'altra condizione):

Ragiona su delle simmetrie che secondo me sono un po' difficili da vedere se non sai già che ci sono, prova a svolgere esplicitamente gli integrali $\int_{pi/3}^{2\pi/3} -sin(3x)sin(nx)dx$ e guarda dove si annullano al variare di $n$.

Come posso svolgerlo esplicitamente?

Ragiona su delle simmetrie che secondo me sono un po' difficili da vedere se non sai già che ci sono, prova a svolgere esplicitamente gli integrali $\int_{pi/3}^{2\pi/3} -sin(3x)sin(nx)dx$ e guarda dove si annullano al variare di $n$.

Mi spiego meglio: l'esercizio chiedeva di dimostrare che gli unici punti che non si annullavano erano quelli sopra riportati. Quindi lui quei punti in realtà li esplicitava.

L'integrale si fa per parti due volte, ricavando un'equazione per l'integrale originale. Posta pure i tuoi conti se hai difficoltà, ora scrivo da cellulare, prima ho fatto i conti e venivano cose del tipo $("coefficienti")/(n^2-9)(sin(2/3 pi n) + sin (1/3 pi n))$, da cui è facile trovare il risultato che cerchi, trattando a parte l'integrale con $n=3$.

Con quell'aiuto nel testo anche i ragionamenti sulla simmetria diventano abbordabili credo.

Grazie mille, sono riuscita!

L'integrale si fa per parti due volte, ricavando un'equazione per l'integrale originale. Posta pure i tuoi conti se hai difficoltà, ora scrivo da cellulare, prima ho fatto i conti e venivano cose del tipo $("coefficienti")/(n^2-9)(sin(2/3 pi n) + sin (1/3 pi n))$, da cui è facile trovare il risultato che cerchi, trattando a parte l'integrale con $n=3$.

Con quell'aiuto nel testo anche i ragionamenti sulla simmetria diventano abbordabili credo.

Grazie mille, sono riuscita!