convoluzione

la convoluzione tra $ f(x) $ e $ g(x) $ è $ f(x)** g(x)=int_RRf(x-t)g(t)dt $

perché $ f(x)** f(x) $ dove $ f(x)=H(t)e^(-2x) $ è $ int_(0)^xe^(-2x)dt $ ? non capisco l'estremo superiore di integrazione.

Forse è $f(x)=H(x)e^{-2x}$. Devi usare la definizione di $H$. Io poi scriverei $f\ast g(x)$ invece di $f(x)\ast g(x)$

ok ma cosa intendi per definizione di $ H $ ?

non capisco l'estremo superiore di integrazione.

Hai mai dato un occhiata alla definizione di convoluzione?
Ti risulta questa espressione?

\(\int_{0}^{t}f\left ( \tau \right )\cdot g\left ( t-\tau \right )d\tau \)

valida per funzioni:

\(f\left ( t \right )=0\) per \(t<0\)


Scrivendola usando le tue variabili:

\(\int_{0}^{x}f\left ( t \right )\cdot g\left ( x-t \right )dt \)

@ FabioA_97:

ok ma cosa intendi per definizione di $ H $ ?

Esattamente la definizione della funzione $H$.¹

@ Exodus:

non capisco l'estremo superiore di integrazione.

Hai mai dato un occhiata alla definizione di convoluzione?

La definizione di convoluzione in uso è stata riportata sopra. Te la sei persa?

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Note

1. Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
   Da non confondere con la Preparazione H, che si usa dopo gli esami, quelli andati male senza vaselina…
   ↑

La definizione di convoluzione in uso è stata riportata sopra. Te la sei persa?

Ti riferisci a me ?

Questa qui è la forma generale valida per i sistemi lineari:

\(\int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( \tau \right )\cdot g\left ( t-\tau \right )d\tau \)

Ma c'è quella semplificata valida per sistemi causali.

\(\int_{0 }^{t}f\left ( \tau \right )\cdot g\left ( t-\tau \right )d\tau \)

@Exodus: si, ma già era stato scritto nel primo post cosa si intende per "convoluzione". Non occorre tirare in ballo altre definizioni.

si, ma già era stato scritto nel primo post cosa si intende per "convoluzione". Non occorre tirare in ballo altre definizioni.

Cosa è il caldo ?

La definizione di convoluzione in uso è stata riportata sopra. Te la sei persa?

Ti riferisci a me ?

Questa qui è la forma generale valida per i sistemi lineari:

\(\int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( \tau \right )\cdot g\left ( t-\tau \right )d\tau \)

Ma c'è quella semplificata valida per sistemi causali.

\(\int_{0 }^{t}f\left ( \tau \right )\cdot g\left ( t-\tau \right )d\tau \)

sul libro c'e solo la formula con l'integrale su R, come faccio a capire se devo integrare su R o se devo integrare da 0 a t?

eh dai....

Il libro di dà la formula generale

$(f@g)(z)=int_(-oo)^(+oo)f_X(x)f_Y(z-x)dx$

poi di volta in volta, a seconda di come sono definite le funzioni, integrerai con gli estremi opportuni:

Esempio 1

$theta>0$

$f_X(x)=thetae^(-thetax)mathbb(1)_([0;oo))(x)$

$f_Y(y)=thetae^(-thetay)mathbb(1)_([0;oo))(y)$

$(f@g)(z)=int_0^zthetae^(-thetax)thetae^(-theta(z-x))dx=theta^2ze^(-thetaz)mathbb(1)_([0;oo))(z)$

Esempio 2

$f_X(x)=mathbb(1)_([0;1])(x)$

$f_Y(y)=mathbb(1)_([0;1])(y)$

$(f@g)(z)=int_0^z dx*mathbb(1)_([0;1))(z)+int_(z-1)^1 dx*mathbb(1)_([1;2])(z)=(1-|1-z|)mathbb(1)_([0;2])(z)$

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