Ogni funzione bilineare è continua?

[dissonance]

Intanto, affinché l'integrale abbia senso, \(f\) deve essere limitata. Inoltre, se \(f\) non è continua, allora \(F\) non è continua, come si può vedere considerando successioni
\[
d\phi_n= \delta_{x_n}, \qquad d\psi_n=\delta_{y_n}, \]
dove \(x_n,\ y_n\) sono successioni convergenti di punti di \(\mathbb R\).

Bisogna quindi assumere che \(f\) sia continua e limitata. Secondo me questa assunzione è anche sufficiente alla continuità di \(F\), ma bisogna dimostrarlo. Credo si faccia così; supponendo \(d\phi_n \to d\phi, d\psi_n\to d\psi\), occorre dimostrare che
\[\tag{*}
\left\lvert F(\psi_n, \phi_n)-F(\psi, \phi)\right\rvert \to 0.\]
A questo scopo, osserviamo che
\[
F(\psi_n, \phi_n)-F(\psi, \phi) = \int_{\mathbb R^2} f(x, y)\left[d\phi_n(x)(d\psi_n(y)-d\psi(y))+(d\phi_n(x)-d\phi(x))d\psi_n(y)\right].\]
Da qui non dovrebbe essere difficile arrivare a provare (*).

[thedarkhero]

Per ottenere l'espressione di $F(\psi_n,\phi_n)-F(\psi,\phi)$ immagino tu abbia aggiunto e tolto $F(\psi_n, \phi)$.

A me viene $F(\psi_n,\phi_n)-F(\psi,\phi) = \int_{RR^2} f(x,y) [d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))+(d\psi_n(x)-d\psi(x))d\phi(y)]$

A questo punto $|\int_{RR^2} f(x,y) [d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))+(d\psi_n(x)-d\psi(x))d\phi(y)]|=$
$=|\int_{RR^2} f(x,y) [d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))]+ \int_{RR^2} f(x,y) [(d\psi_n(x)-d\psi(x))d\phi(y)]|<=$
$<=|\int_{RR^2} f(x,y) [d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))]|+ |\int_{RR^2} f(x,y) [(d\psi_n(x)-d\psi(x))d\phi(y)]|$

Ora però come posso usare il fatto che $(\psi_n,\phi_n)->(\psi,\phi)$ nella topologia debole * per provare che quei due moduli tendono a 0?

[dissonance]

Si, ho aggiunto e sottratto. Usa Fubini per concludere.

[thedarkhero]

Se ad esempio guardo il primo integrale
$|\int_{RR^2}f(x,y)[d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))]|=$
$=|\int_{RR}\int_{RR}f(x,y)d\psi_n(x)d\phi_n(y) - \int_{RR}\int_{RR}f(x,y)d\psi_n(x)d\phi(y)|=$
$=|\int_{RR}\int_{RR}f(x,y)d\phi_n(y)d\psi_n(x) - \int_{RR}\int_{RR}f(x,y)d\phi(y)d\psi_n(x)|=$
$=|\int_{RR}(\int_{RR}f(x,y)d\phi_n(y)- \int_{RR}f(x,y)d\phi(y))d\psi_n(x)|$
ma a questo punto in che modo mi viene in aiuto Fubini?

[dissonance]

Hai già usato Fubini, per integrare prima in \(y\) e poi in \(x\). Benissimo. Ora, l'integrale in parentesi tonda tende a 0 per definizione di convergenza debole, quindi penso proprio che tutto quell'integrale doppio tende a 0 pure lui. In effetti resterebbe da dimostrare che si può passare al limite sotto il segno di integrale in \(d\psi_n(x)\). Questa sarà sicuramente una applicazione della convergenza dominata.