Intanto, affinché l'integrale abbia senso, \(f\) deve essere limitata. Inoltre, se \(f\) non è continua, allora \(F\) non è continua, come si può vedere considerando successioni
\[
d\phi_n= \delta_{x_n}, \qquad d\psi_n=\delta_{y_n}, \]
dove \(x_n,\ y_n\) sono successioni convergenti di punti di \(\mathbb R\).
Bisogna quindi assumere che \(f\) sia continua e limitata. Secondo me questa assunzione è anche sufficiente alla continuità di \(F\), ma bisogna dimostrarlo. Credo si faccia così; supponendo \(d\phi_n \to d\phi, d\psi_n\to d\psi\), occorre dimostrare che
\[\tag{*}
\left\lvert F(\psi_n, \phi_n)-F(\psi, \phi)\right\rvert \to 0.\]
A questo scopo, osserviamo che
\[
F(\psi_n, \phi_n)-F(\psi, \phi) = \int_{\mathbb R^2} f(x, y)\left[d\phi_n(x)(d\psi_n(y)-d\psi(y))+(d\phi_n(x)-d\phi(x))d\psi_n(y)\right].\]
Da qui non dovrebbe essere difficile arrivare a provare (*).