Ogni funzione bilineare è continua?

[thedarkhero]

Mi chiedevo se ogni funzione bilineare $F:A \times B -> RR$ è continua.
Ad esempio nel caso di forme quadratiche $F:RR^n \times RR^n->RR$ definite da $F(x,y)=x^T Ay$ con $A \in M_n(RR)$ questo è chiaramente vero ma non mi viene in mente come lo si possa dimostrare per funzioni bilineari qualsiasi.

[caulacau]

Che differenza c'è tra il caso che capisci come dimostrare e quello generale?

[thedarkhero]

Nel caso di forme quadratiche la funzione è un polinomio di secondo grado, che è ovviamente continuo.
Se ad esempio considero la funzione $F(\phi,\psi)=\int_{RR^2}f(x,y)d\phi(x)d\psi(y)$ definita sul prodotto cartesiano di due spazi di misure di probabilità, mi è meno chiaro che si tratta di una funzione continua.

[caulacau]

Una funzione bilineare è una funzione che, ristretta a uno dei suoi argomenti, è lineare: supponi che \(B : V \times W \to K\) sia bilineare, e che \(B(v, \_)\) però non sia continua come funzion(al)e su \(W\); allora, da ciò cosa evinci, visto che una funzione con dominio un prodotto è continua se e solo se lo è su ciascuna delle componenti? Questa $B$ si può costruire? Ossia, le coppie di funzioni lineari \(u : V\to K\) e \(v : W\to K\) catturano tutte le funzioni bilineari mediante la regola
\[
\begin{CD}
V \times W @>>u\times v> K \times K @>>\cdot> K
\end{CD}
\] oppure è necessaria una qualche compatibilità in più in una applicazione bilineare?

[thedarkhero]

Penso di non aver capito, se $B:V \times W -> K$ è bilineare allora come può $B(v, \_ ):W->K$ non essere lineare?

[caulacau]

Sarà lineare certo. Quello che intendo è che può non essere continua, forse.

[caulacau]

Stavo cercando di farci arrivare l@i, sì.

[thedarkhero]

Ok, allora nel caso ad esempio della funzione $F(\phi,\psi)=\int_{RR^2}f(x,y)d\phi(x)d\psi(y)$ come posso provare la continuità?

[dissonance]

Prima di tutto devi specificare che topologia intendi su \(\phi\) e \(\psi\). Se sono topologie di spazio normato, \(F\) è continua se e solo se esiste \(C>0\) tale che
\[
\lvert F(\phi, \psi)\rvert\le C\lVert \phi\rVert \lVert \psi\rVert. \]

[thedarkhero]

Sullo spazio di misure di probabilità $P(A)$ metto la topologia debole *.
Ho quindi che una successione $(\phi_k)_{k\inNN}$ converge a $\phi\inP(A)$ se per ogni $f\inC(A)$ si ha che $lim_{k->oo} \int_A f(x) d\phi_k(x) = \int_A f(x) d\phi(x)$.

Analogamente su $P(B)$ metto la topologia debole *.

Infine considero $P(A) \times P(B)$ con la topologia prodotto debole *.

Il mio dubbio era come poter provare la continuità della funzione $F:P(A)\timesP(B)->RR$ definita da $F(\phi,\psi)=\int_{RR^2}f(x,y)d\phi(x)d\psi(y)$.