Riporto le definizioni, così cerco di non fare troppa confusione.
Siano $X$ un insieme non vuoto e $\mathcal{M}$ la $\sigma$-algebra degli insiemi misurabili secondo Lebesgue. Indichiamo con $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ la $\sigma$-algebra dei boreliani reali.
Una funzione $f:X\to\mathbb{R}$ è (Lebesgue)-misurabile se e solo se per ogni boreliano $E\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ si ha che $f^{-1}(E)\in\mathcal{M}$. (A parole, la controimmagine di ogni boreliano dev'essere Lebesgue misurabile.)
Tento di dimostrare la seguente congettura.
Se $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è una funzione tale che $g^{-1}(a,+\infty)$ è un boreliano per ogni $a$ e se $f:X\to\mathbb{R}$ è una funzione misurabile, allora: $g\circ f:X\to\mathbb{R}$ è misurabile.
Dimostrazione.
Vi dico la verità: la dimostrazione mi sembra tanto ovvia che ho paura che sia sbagliata.
Devo dimostrare che $(g\circ f)^{-1}(a,+\infty)\in\mathcal{M}$ per ogni $a\in\mathbb{R}$.
In base alla definizione di composizione di funzioni, per ogni $a\in\mathbb{R}$:
$(g\circ f)^{-1}(a,+\infty)=f^{-1}(g^{-1}(a,+\infty))$
Per ipotesi $g^{-1}(a,+\infty)\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ e per definizione di funzione misurabile:
$f^{-1}(g^{-1}(a,+\infty))\in\mathcal{M} \implies g\circ f \ \mbox{misurabile.}$
Se questo teorema regge, posso applicarlo alla risoluzione dell'esercizio e concludere senza troppi sforzi. Lasciate perdere l'esercizio originale: è possibile fare i calcoli esplicitamente, ma se l'argomento della funzione parte intera fosse una funzione continua più complicata, capite che risolvere le disequazioni è pressoché impossibile.