Integrale funzione dispari su cammino chiuso simmetrico rispetto alle ordinate

Ciao a tutti,
ho un esercizio che vi propongo del quale ho accennato a una soluzione ma della quale non sono sicuro

Calcolare l'integrale su $\gamma$ di $f (z)= \frac{Re(z)}{z^2+1}$
Dove $\gamma$ è il cammino composto dai segmenti
$y=0, x \in [-1,1] $(detto $\gamma_1$)
e dai segmenti delle rette che collegano gli estremi di $\gamma_1$ al punto $ x=0, y=3/2$
percorso in senso antiorario

Essendo la funzione dispari, su $\gamma_1$ il suo integrale è $ =0$. Questo ragionamento si può applicare anche alla funzione sugli altri due intervalli, nella misura in cui, quale che sia il valore dell'integrale di $f$ sul primo segmento "obliquo" questo è cancellato dal valore dell'integrale della stessa sul secondo? L'unione dei due segmenti che chiudono il triangolo è in effetti simmetrica rispetto all'asse delle $y$.

A titolo di chiarimento così si può procedere a chiudere il topic:

la supposizione che faccio sopra è scorretta. la funzione è dispari e simmetrica rispetto all'origine degli assi mentre il segmento unione dei due lati obliqui è simmetrico rispetto a x=0