Buongiorno,
ho bisogno di una mano nella risoluzione di questo problema:
$ \{ ((partial u)/(partial t) - B*(partial^2 u)/(partial x^2) = f_0 * sin((3pi)/L x) ), (u(0,t)= 0), (u(L,t)= 0), (u(x,0)= 0) :}$
Si tratta di un problema di diffusione del calore attraverso una sbarra di lunghezza $L$, dunque l ' intervallo da prendere in considerazione è $[0,L]$.
Divido il problema in parte stazionaria indipendente dal tempo e parte transitoria:
$u(x,t) = v(x) + s(x,t)$
Essendo le condizioni al bordo di tipo Dirichlet omogenee, la soluzione stazionaria $v(x) = 0$.
Le autofunzioni calcolate sono : $ Phi(x)= sqrt(2/L) sin(npi x/L) $
Il mio problema riguarda il problema transitorio, in particolare la forzante:
seguendo i testi, una EDO di tipo parabolico non omogenea, dispone una forzante $f$ del tipo $f(x,t)$, quindi spazio-tempo dipendente.
Se cosi fosse, non farei altro che calcolarmi i coefficienti di Fourier integrando la forzante e l' autofunzione sull' intervallo.
Una volta calcolato, riscrivo l' equazione di partenza utilizzando Fourier raccogliendo tutto a primo membro e, sottolineando l' ortonormalità della autofunzioni, ottengo una equazione differenziale di primo grado risolvibile etc etc...
La mia domanda è, quando la forzante, come in questo caso è solamente spazio-dipendente, come tratto il problema? Come influenza il sistema la presenza di questa forza? in nessun modo? non la devo considerare?
Non trovo un esempio simile da nessuna parte.